Yue’s solution of classical elasticity in n-layered solids: Part 1, mathematical formulation

Abstract

This paper presents the exact and complete fundamental singular solutions for the boundary value problem of a n-layered elastic solid of either transverse isotropy or isotropy subject to body force vector at the interior of the solid. The layer number n is an arbitrary nonnegative integer. The mathematical theory of linear elasticity is one of the most classical field theories in mechanics and physics. It was developed and established by many well-known scientists and mathematicians over 200 years from 1638 to 1838. For more than 150 years from 1838 to present, one of the remaining key tasks in classical elasticity has been the mathematical derivation and formulation of exact solutions for various boundary value problems of interesting in science and engineering. However, exact solutions and/or fundamental singular solutions in closed form are still very limited in literature. The boundary-value problems of classical elasticity in n-layered and graded solids are also one of the classical problems challenging many researchers. Since 1984, the author has analytically and rigorously examined the solutions of such classical problems using the classical mathematical tools such as Fourier integral transforms. In particular, he has derived the exact and complete fundamental singular solutions for elasticity of either isotropic or transversely isotropic layered solids subject to concentrated loadings. The solutions in n-layered or graded solids can be calculated with any controlled accuracy in association with classical numerical integration techniques. Findings of this solution formulation are further used in the companion paper for mathematical verification of the solutions and further applications for exact and complete solutions of other problems in elasticity, elastodynamics, poroelasticty and thermoelasticity. The mathematical formulations and solutions have been named by other researchers as Yue’s approach, Yue’s treatment, Yue’s method and Yue’s solution.

Keywords

elasticity / solution / layered solid / graded material

References

[1] Wang R, Ding Z Y, Yin Y Q. Fundamentals of Solid Mechanics. Beijing: Geological Publishing House, 1979 (in Chinese)

[2] Wang R. A short note on the inversion of tectonic stress fields. Tectonophysics, 1983, 100(1−3): 405–411

[3] Li Z Q. Calculation of surface movement caused by excavations with Fourier integral transformation. Journal of China Coal Society, 1983, 8(2): 18–25 (in Chinese)

[4] Li Z Q. Calculation of surface movement caused by excavations with Fourier integral transformation part II – horizontal coal beds in three-dimensional space. Journal of China Coal Society, 1985, 10(1): 18–22 (in Chinese)

[5] Yue Z Q. Analytical Solution of Transversely Isotropic Elastic Layered System and its Application to Coal Mining. MSc Thesis, Department of Geology, Peking University, Beijing, July, 1986 (in Chinese)

[6] Yue Z Q, Wang R. Static solutions for transversely isotropic elastic N-layered systems. Acta Scientiarum Naturalium Universitatis Pekinensis, 1988, 24(2): 202–211 (in Chinese)

[7] Wu J K, Wang M Z. An Introduction to Elasticity. Beijing: Peking University Press, 1981

[8] Wang M Z. Advanced Elasticity, Beijing: Peking University Press, 2002 (in Chinese)

[9] Fan T Y. Fundamentals of Fracture Mechanics. Jiangsu Science and Technology Press, 1978 (in Chinese)

[10] Fan T Y. Mathematical Theory of Elasticity of Quasicrystals and Its Applications. Berlin: Springer Verlag; Beijing: Science Press, 2011

[11] Yue Z Q. On generalized Kelvin solutions in multilayered elastic media. Journal of Elasticity, 1995, 40(1): 1–44

[12] Yue Z Q. Elastic fields in two joined transversely isotropic solids due to concentrated forces. International Journal of Engineering Science, 1995, 33(3): 351–369

[13] Yue Z Q, Svec O C. Effect of tire-pavement contact pressure distribution on the response of asphalt concrete pavements. Canadian Journal of Civil Engineering, 1995, 22(5): 849–860

[14] Yue Z Q. On elastostatics of multilayered solids subjected to general surface traction. Quarterly Journal of Mechanics and Applied Mathematics, 1996, 49(3): 471–499

[15] Yue Z Q. Closed-form Green’s functions for transversely isotropic bi-solids with a slipping interface. Structural Engineering and Mechanics. International Journal (Toronto, Ont.), 1996, 4(5): 469–484

[16] Yue Z Q, Yin J H. Closed-form fundamental solutions for transversely isotropic bi-materials with inextensible interface. Journal of Engineering Mechanics, ASCE, 1996, 122(11):1052–1059

[17] Yue Z Q. Elastic field for an eccentrically loaded rigid plate on multilayered solids. International Journal of Solids and Structures, 1996, 33(27): 4019–4049

[18] Argue G L. Canadian Airfield Pavement Engineering Reference. Ottawa, September, 2005, 737

[19] Yue Z Q, Palmer J H L. Application of multilayered theory to airfield pavement design. Final Report submitted to Transport Canada. NRC Client reports No.A7504.3, Ottawa, March, 1996

[20] Yue Z Q. Computational analysis to determine the elastic moduli of flexible pavement structural components. Final report submitted to Public Works and Government Services of Canada, HK, November, 1996

[21] Argue G L, Yue ZQ, Palmer J H L, Denyes B, Bastarache A. Layered elastic design criteria for airfield asphalt pavements. Submitted to Transport Canada, Ottawa, April, 1996

[22] Merkel R, Kirchgeßner N, Cesa C M, Hoffmann B. Cell force microscopy on elastic layers of finite thickness. Biophysical Journal, 2007, 93: 3314–3323

[23] Maloney J M, Walton E B, Bruce C M, Van Vliet K J. Influence of finite thickness and stiffness on cellular adhesion-induced deformation of compliant substrata, Physical Review E 2008, 78: 041923–1–041923–15.

[24] Yue Z Q. Yue’s solution of classical elasticity in layered solids: Part 2, mathematical verification. Frontiers of Structural and Civil Engineering, 2015, 9(3): 250–284

[25] Galilei G. The Discourses and Mathematical Demonstrations Relating to Two New Sciences (Discorsi e dimostrazioni matematiche, intorno à due nuove scienze), published in Leiden (Holland), 1638

[26] Todhunter I. A History of the Theory of Elasticity and of the Strength of Materials from Galilei to the Present Time. Cambridge University Press, 1893

[27] Love A E H. A Treatise on the Mathematical Theory of Elasticity. Second Edition, Cambridge (Eng.): University press, 1906, 551

[28] Love A E H. A Treatise on the Mathematical Theory of Elasticity. Fourth Edition, Cambridge (Eng.): University press, 1927, 643

[29] Sokolnikoff I S. Mathematical Theory of Elasticity, with the collaboration of R. D. Specht. New York: McGraw-Hill, 1946, 373

[30] Sokolnikoff I S. Mathematical Theory of Elasticity. Second Edition. New York: McGraw-Hill, 1956, 476

[31] Timoshenko S P. 1878−1972. Theory of Elasticity. New York: McGraw-Hill, 1934, 416

[32] Timoshenko S P, Goodier J N. Theory of Elasticity. New York: McGraw-Hill, 1970. Third edition, 565

[33] Qian W C, Ye K Y. Elasticity. Beijing: Scientific Publisher, 1956 (in Chinese)

[34] Borg S F. Fundamentals of Engineering Elasticity. Princeton, N.J.: Van Nostrand, 1962, 276

[35] Muskhelishvili N I. Singular Integral Equations: boundary problems of functions theory and their applications to mathematical physics. Moscow 1946. rev. translation from the Russian edited by J. R. M. Radok, Groningen, Holland: P. Noordhoff N. V., 1953, 447

[36] Kupradze V D. Potential Methods in the Theory of Elasticity. Moscow 1963, translated from the Russian by H. Gutfreund, translation edited by I. Meroz. Jerusalem: Israel Program for Scientific Translations, 1965, 339

[37] Kupradze V D. Three-dimensional Problems of the Mathematical Theory of Elasticity and Thermoelasticity. Amsterdam: North Holland Publ. Co., 1979, p929

[38] Fabrikant V I. Mixed Boundary Value Problems of Potential Theory and Their Applications in Engineering. Dordrecht: Kluwer Academic Publishers, 1991, 451

[39] Davis R O, Selvadurai A P S. Elasticity and Geomechanics. Cambridge University Press, England, 1996

[40] Chau K T. Analytic Methods in Geomechanics. Boca Raton, FL: CRC Press, 2013, 437

[41] Thompson, W (Lord Kelvin). Note on the integration of the equations of equilibrium of an elastic solid. Cambridge and Dublin Mathematical Journal, 1848, 1: 97–99

[42] Boussinesq J. Application des potentiels à l'étude de l'équilibre et du mouvement des solides élastiques. Gauther-Villars, Paris, 1885. Reprint Paris: Blanchard 1969

[43] Mindlin R D. Force at a point in the interior of a semi-infinite solid. Physics, 1936, 7: 195–202

[44] Poulos H G, Davis E H. Elastic Solutions for Soil and Rock Mechanics. John Wiley & Sons, Inc., New York. 1974, 411

[45] Rongved L. Force interior to one or two joined semi-infinite solids. Proc. Sec. Midwest. Conf. Solid Mech., Lafayette, Indiana, Purdue University, 1955, 1–13

[46] Dundurs J, Hetenyi H. Transmission of force between two semi-infinite solids. Journal of Applied Mechanics, ASME, 1965, 32: 671–674

[47] Plevako K P. A point force inside a pair of cohering halfspace. Osnovaniya Fundamenty i Mekhanika Gruntov, Moscow, Russia, 1969, No.3: 9–11 (in Russian)

[48] Suresh S. Graded materials for resistance to contact deformation and damage. Science, 2001, 292(29): 2447–2451

[49] Holl D L. Stress transmission in earths. Proceedings of Highway Research Board, 1940, 20: 709–721

[50] Burminster D M. The general theory of stresses and displacements in layered systems I, II, III. Journal of Applied Physics, 1945, 16: 89–93, 126–127, 296–302

[51] Lemcoe M M. Stresses in layered elastic solids. Journal of the Engineering Mechanics Division, 1960, 86(4): 1–22

[52] Schiffman R L. General analysis of stresses and displacements in layered elastic systems. In: Proceedings of the 1st International Conference on the Structural Design and Asphalt Pavements. University of Michigan, Ann Arbor, Michigan, USA, 1962: 369–384

[53] Michelow J. Analysis of Stresses and Displacements in an N-layered Elastic System under a Load Uniformly Distributed on a Circular Area.Chevron Research Corporation, Richmond, California, 1963

[54] Gibson R E. Some results concerning displacements and stresses in a non-homogeneous elastic layer. Geotechnique, 1967, 17: 58–67

[55] Bufler H. Theory of elasticity of a multilayered medium. Journal of Elasticity, 1971, 1: 125–143

[56] Small J C, Booker J R. Finite layer analysis of layered elastic material using a flexibility approach. Part 2- circular and rectangular loading. International Journal for Numerical Methods in Engineering, 1986, 23: 959–978

[57] Wang L S. The initial parameter method for solving three-dimensional axisymmetrical problems of layered foundations. Lixue Xuebao, 1986, 18(6): 528–537 (in Chinese)

[58] Benitez F G, Rosakis A J. Three-dimensional elastostatics of a layer and a layered medium. Journal of Elasticity, 1987, 18(1): 3–50

[59] Kausel E, Seale S H. Static loads in layered half-spaces. Journal of Applied Mechanics, ASME, 1987, 54: 403–408

[60] Pindera M J. Local/global stiffness matrix formulation for composite materials and structures. Composites Engineering, 1991, 1(2): 69–83

[61] Conte E, Dente G. Settlement analysis of layered soil systems by stiffness method. Journal of Geotechnical Engineering, 1993, 119(4): 780–785

[62] Ozturk M, Erdogan F. Axisymmetric crack problem in bonded materials with a graded interfacial region. International Journal of Solids and Structures, 1996, 33(2): 193–219

[63] Selvadurai A P S. The settlement of a rigid circular foundation resting on a half-space exhibiting a near surface elastic non-homogeneity. International Journal for Numerical and Analytical Methods in Geomechanics, 1996, 20: 351–364

[64] Ta L D, Small J C. Analysis of piled raft systems in layered soils. International Journal for Numerical and Analytical Methods in Geomechanics, 1996, 20: 57–72

[65] Cheung Y K, Tham L G. Some applications of semi-analytical methods in geotechnical engineering. Proceedings of the Ninth International Conference on Computer Methods and Advances in Geomechanics, Wuhan, China, November 2 to 7. 3−14 (Keynote Lecture), 1997

[66] Selvadurai A P S. The analytical method in geomechanics. Applied Mechanics Reviews, 2007, 60(3): 87–106

[67] Huber M T. Probleme der statik technisch wichtiger orthotroper platten, Nakładem Akademji nauk technicznych, Warzawa, 1929, 165

[68] Elliott H A, Mott N F. Three-dimensional stress distributions in hexagonal aeolotropic crystals. Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society, 1948, 44(04): 522–553

[69] Hu H C. On the three-dimensional problems of the theory of elasticity of a transversely isotropic body. Scientia Sinica, 1953, 2: 145–151

[70] Hu H C. On the equilibrium of a transversely isotropic elastic half space. Scientia Sinica, 1954, 3(4): 247–260

[71] Pan Y C, Chou T W. Green's functions for two-phase transversely isotropic materials. Journal of Applied Mechanics, ASME, 1979, 46: 551–556

[72] Ding H J, Xu X. The equilibrium of transversely isotropic elastic layers. Journal of Zhejiang University, 1982, No.2: 141–154

[73] Ding H J, Xu B H. General solution of axisymmetric problems in transversely isotropic body. Applied Mathematics and Mechanics, 1988, 9(2): 143–151

[74] Pan E. Static response of a transversely isotropic and layered half-space to general surface loads. Physics of the Earth and Planetary Interiors, 1989, 54(3−4): 353–363

[75] Lin W, Keer L M. Three-Dimensional Analysis of Cracks in Layered Transversely Isotropic Media. Proceedings of the Royal Society of London. Series A, Mathematical and Physical Sciences, 1867, 1989(424): 307–322

[76] Ding H J, Chen W Q, Zhang L C. Elasticity of Transversely Isotropic Materials. Dordrecht: Springer, 2006. 435

[77] Yue Z Q, Yin J H. Backward transfer-matrix method for elastic analysis of layered solid with imperfect bonding. Journal of Elasticity, 1998, 50(2): 109–128

[78] Yue Z Q, Yin J H. Layered elastic model for analysis of cone penetration testing. International Journal for Numerical and Analytical Methods in Geomechanics, 1999, 23(8): 829–843

[79] Yue Z Q, Yin J H, Zhang S Y. Computation of point load solutions for geo-materials exhibiting elastic non-homogeneity with depth. Computers and Geotechnics, 1999, 25(2): 75–105

[80] Yue Z Q, Xiao H T, Tham L G, Lee C F, Yin J H. Stresses and displacements of a transversely isotropic elastic halfspace due to rectangular loadings. Engineering Analysis with Boundary Elements, 2005, 29(6): 647–671

[81] Xiao H T, Yue Z Q. Elastic fields in two joined transversely isotropic media of infinite extent as a result of rectangular loading. International Journal for Numerical and Analytical Methods in Geomechanics, 2013, 37(3): 247–277

[82] Fourier J B. Joseph. Théorie Analytique de la Chaleur (The Analytical Theory of Heat), Paris: Chez Firmin Didot, père et fils. Translated by Freeman, Alexander in 1878, The University Press, 1822

[83] Condon E U. Immersion of the Fourier transform in a continuous group of functional transformations. Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America, 1937, 23: 158–164

[84] Sneddon I N. Fourier Transforms. McGraw-Hill, New York, 1951

[85] Sneddon I N. Mixed Boundary Value Problems in Potential Theory. North-Holland, Amsterdam, 1966

[86] Sneddon I N. Lowengrub M. Crack Problems in the Classical Theory of Elasticity, New York: Wiley, 1969. 221

[87] Sneddon I N. The Use of Integral Transforms. New York: McGraw-Hill, 1972, 539

[88] Bateman H. Tables of Integral Transforms. McGraw-Hill, New York, 1954, 2

[89] Eason G, Ogend R W. Elasticity: mathematical methods and applications: the Ian N. Sneddon 70th birthday. Chichester England: E. Horwood, 1990, 412

[90] Debnath L. Integral Transforms and Their Applications. New York: CRC Press Inc, 1995, 457

Acknowledgements

The author thanks Professor Ren Wang, Professor Zhong-yi Ding, Professor Min-zhong Wang and Professor Xi-da Liu from Peking University, Mr. Z.Q. Li from China Coal Research Institute, Professor Tianyou Fan from Beijing University of Technology, Professor A.P.S Selvadurai from McGill University, Professor K. T. Law from Carleton University, Dr. J. H. L Palmer and Dr. Otto Svec from National Research Council of Canada, Mr. G.L. Argue and B. Denyes from Transport Canada, Professor Jian-hua Yin from Hong Kong Polytechnic University and Dr. Hong-tian Xiao from Shangdong University of Science and Technology for their supports and/or advices on this study project over the past 30 years. He also thanks Professor He-hua Zhu of Tongji University for his invitation of writing this paper for possible publication at this Journal.

RIGHTS & PERMISSIONS

2014 Higher Education Press and Springer-Verlag Berlin Heidelberg