An extended cell-based smoothed discrete shear gap method (XCS-FEM-DSG3) for free vibration analysis of cracked Reissner-Mindlin shells

Abstract

A cell-based smoothed discrete shear gap method (CS-FEM-DSG3) was recently proposed and proven to be robust for free vibration analyses of Reissner-Mindlin shell. The method improves significantly the accuracy of the solution due to softening effect of the cell-based strain smoothing technique. In addition, due to using only three-node triangular elements generated automatically, the CS-FEM-DSG3 can be applied flexibly for arbitrary complicated geometric domains. However so far, the CS-FEM-DSG3 has been only developed for analyzing intact structures without possessing internal cracks. The paper hence tries to extend the CS-FEM-DSG3 for free vibration analysis of cracked Reissner-Mindlin shells by integrating the original CS-FEM-DSG3 with discontinuous and crack−tip singular enrichment functions of the extended finite element method (XFEM) to give a so-called extended cell-based smoothed discrete shear gap method (XCS-FEM-DSG3). The accuracy and reliability of the novel XCS-FEM-DSG3 for free vibration analysis of cracked Reissner-Mindlin shells are investigated through solving three numerical examples and comparing with commercial software ANSYS.

Keywords

cracked Reissner-Mindlin shell / free vibration analysis / cell-based smoothed discrete shear gap method (CS-FEM-DSG3) / extended cell-based smoothed discrete shear gap method (XCS-FEM-DSG3) / smoothed finite element methods (SFEM)

References

[1] Kwon Y W. Development of finite element shape functions with derivative singularity. Computers & Structures, 1988, 30(5): 1159–1163

[2] Krawczuk M. Rectangular shell finite element with an open crack. Finite Elements in Analysis and Design, 1994, 15(3): 233–253

[3] Liu R, Zhang T, Wu X, Wang C. Determination of stress intensity factors for a cracked shell under bending with improved shell theories. Journal of Aerospace Engineering, 2006, 19(1): 21–28

[4] Vaziri A, Estekanchi H E. Buckling of cracked cylindrical thin shells under combined internal pressure and axial compression. Thin-walled Structures, 2006, 44(2): 141–151

[5] Fu J, To C W S. Bulging factors and geometrically nonlinear responses of cracked shell structures under internal pressure. Engineering Structures, 2012, 41: 456–463

[6] Belytschko T, Black T. Elastic crack growth in finite elements with minimal remeshing. International Journal for Numerical Methods in Engineering, 1999, 45(5): 601–620

[7] Moës N, Dolbow J, Belytschko T. A finite element method for crack growth without remeshing. International Journal for Numerical Methods in Engineering, 1999, 46: 131–150

[8] Stolarska M, Chopp D L, Moës N, Belytschko T. Modelling crack growth by level sets in the extended finite element method. International Journal for Numerical Methods in Engineering, 2001, 51(8): 943–960

[9] Bachene M, Tiberkak R, Rechak S. Vibration analysis of cracked plates using the extended finite element method. Archive of Applied Mechanics, 2009, 79(3): 249–262

[10] Natarajan S, Baiz P M, Bordas S, Rabczuk T, Kerfriden P. Natural frequencies of cracked functionally graded material plates by the extended finite element method. Composite Structures, 2011, 93(11): 3082–3092

[11] Rabczuk T, Areias P M A. A meshfree thin shell for arbitrary evolving cracks based on an external enrichment. CMES-Computer Modeling in Engineering and Sciences, 2006, 16: 115–130

[12] Rabczuk T, Areias P M A, Belytschko T. A meshfree thin shell method for non-linear dynamic fracture. International Journal for Numerical Methods in Engineering, 2007, 72(5): 524–548

[13] Zhuang X, Augarde C E, Mathisen K M. Fracture modeling using meshless methods and level sets in 3D: Framework and modeling. International Journal for Numerical Methods in Engineering, 2012, 92(11): 969–998

[14] Chau-Dinh T, Zi G, Lee P S, Rabczuk T, Song J H. Phantom-node method for shell models with arbitrary cracks. Computers & Structures, 2012, 92−93: 242–256

[15] Ghorashi S S, Valizadeh N, Mohammadi S, Rabczuk T. T-spline based XIGA for fracture analysis of orthotropic media. Computers & Structures, 2015, 147: 138–146

[16] Nguyen-Thanh N, Valizadeh N, Nguyen M N, Nguyen-Xuan H, Zhuang X, Areias P, Zi G, Bazilevs Y, De Lorenzis L, Rabczuk T. An extended isogeometric thin shell analysis based on Kirchhoff−Love theory. Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering, 2015, 284: 265–291

[17] Areias P, Rabczuk T. Finite strain fracture of plates and shells with configurational forces and edge rotations. International Journal for Numerical Methods in Engineering, 2013, 94(12): 1099–1122

[18] Areias P, Rabczuk T, Camanho P P. Initially rigid cohesive laws and fracture based on edge rotations. Computational Mechanics, 2013, 52(4): 931–947

[19] Areias P, Rabczuk T, Dias-da-Costa D. Element-wise fracture algorithm based on rotation of edges. Engineering Fracture Mechanics, 2013, 110: 113–137

[20] Areias P, Rabczuk T, Camanho P P. Finite strain fracture of 2D problems with injected anisotropic softening elements. Theoretical and Applied Fracture Mechanics, 2014, 72: 50–63

[21] Liu GR, Nguyen-Thoi T. Smoothed Finite Element Methods. NewYork: Taylor and Francis Group, 2010

[22] Liu G R, Nguyen-Thoi T, Nguyen-Xuan H, Dai K Y, Lam K Y. On the essence and the evaluation of the shape functions for the smoothed finite element method (SFEM). International Journal for Numerical Methods in Engineering, 2009, 77(13): 1863–1869

[23] Nguyen T T, Liu G R, Dai K Y, Lam K Y. Selective smoothed finite element method. Tsinghua Science and Technology, 2007, 12(5): 497–508

[24] Liu G R, Dai K Y, Nguyen T T. A smoothed finite element method for mechanics problems. Computational Mechanics, 2007, 39(6): 859–877

[25] Nguyen-Thoi T, Liu G R, Nguyen-Xuan H. Additional properties of the node-based smoothed finite element method (NS-FEM) for solid mechanics problems. International Journal of Computational Methods, 2009, 06(04): 633–666

[26] Nguyen-Thoi T, Liu G R, Nguyen-Xuan H, Nguyen-Tran C. Adaptive analysis using the node-based smoothed finite element method (NS-FEM). International Journal for Numerical Methods in Biomedical Engineering, 2011, 27(2): 198–218

[27] Liu G R, Nguyen-Thoi T, Nguyen-Xuan H, Lam K Y. A node-based smoothed finite element method (NS-FEM) for upper bound solutions to solid mechanics problems. Computers & Structures, 2009, 87(1−2): 14–26

[28] Nguyen-Thoi T, Liu G R, Nguyen-Xuan H, Nguyen-Tran C. An n-sided polygonal edge-based smoothed finite element method (nES-FEM) for solid mechanics. International Journal for Numerical Methods in Biomedical Engineering, 2011, 27: 1446–1472

[29] Liu G R, Nguyen-Thoi T, Lam K Y. An edge-based smoothed finite element method (ES-FEM) for static, free and forced vibration analyses of solids. Journal of Sound and Vibration, 2009, 320(4−5): 1100–1130

[30] Nguyen-Thoi T, Liu G R, Lam K Y, Zhang G Y. A face-based smoothed finite element method (FS-FEM) for 3D linear and geometrically non-linear solid mechanics problems using 4-node tetrahedral elements. International Journal for Numerical Methods in Engineering, 2009, 78(3): 324–353

[31] Liu G R, Nguyen-Xuan H, Nguyen-Thoi T, Xu X. A novel Galerkin-like weakform and a superconvergent alpha finite element method (S-alpha FEM) for mechanics problems using triangular meshes. Journal of Computational Physics, 2009, 228(11): 4055–4087

[32] Liu G R, Nguyen-Thoi T, Lam K Y. A novel alpha finite element method (αFEM) for exact solution to mechanics problems using triangular and tetrahedral elements. Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering, 2008, 197(45−48): 3883–3897

[33] Liu G R, Nguyen-Xuan H, Nguyen-Thoi T. A variationally consistent alpha FEM (VC alpha FEM) for solution bounds and nearly exact solution to solid mechanics problems using quadrilateral elements. International Journal for Numerical Methods in Engineering, 2011, 85(4): 461–497

[34] Liu G R, Nguyen-Thoi T, Lam K Y. A novel FEM by scaling the gradient of strains with factor alpha (alpha FEM). Computational Mechanics, 2009, 43(3): 369–391

[35] Liu G R, Nguyen T T, Dai K Y, Lam K Y. Theoretical aspects of the smoothed finite element method (SFEM). International Journal for Numerical Methods in Engineering, 2007, 71(8): 902–930

[36] Liu G R, Nguyen-Xuan H, Nguyen-Thoi T. A theoretical study on the smoothed FEM (S-FEM) models: Properties, accuracy and convergence rates. International Journal for Numerical Methods in Engineering, 2010, 84(10): 1222–1256

[37] Nguyen-Xuan H, Rabczuk T, Bordas S, Debongnie J F. A smoothed finite element method for plate analysis. Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering, 2008, 197(13−16): 1184–1203

[38] Nguyen-Xuan H, Liu G R, Thai-Hoang C, Nguyen-Thoi T. An edge-based smoothed finite element method (ES-FEM) with stabilized discrete shear gap technique for analysis of Reissner−Mindlin plates. Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering, 2010, 199(9−12): 471–489

[39] Nguyen-Xuan H, Rabczuk T, Nguyen-Thanh N, Nguyen-Thoi T, Bordas S. A node-based smoothed finite element method with stabilized discrete shear gap technique for analysis of Reissner−Mindlin plates. Computational Mechanics, 2010, 46(5): 679–701

[40] Nguyen-Xuan H, Tran L V, Nguyen-Thoi T, Vu-Do H C. Analysis of functionally graded plates using an edge-based smoothed finite element method. Composite Structures, 2011, 93(11): 3019–3039

[41] Nguyen-Xuan H, Tran L V, Thai C H, Nguyen-Thoi T. Analysis of functionally graded plates by an efficient finite element method with node-based strain smoothing. Thin-walled Structures, 2012, 54: 1–18

[42] Thai C H, Tran L V, Tran D T, Nguyen-Thoi T, Nguyen-Xuan H. Analysis of laminated composite plates using higher-order shear deformation plate theory and node-based smoothed discrete shear gap method. Applied Mathematical Modelling, 2012, 36(11): 5657–5677

[43] Nguyen-Thoi T, Bui-Xuan T, Phung-Van P, Nguyen-Xuan H, Ngo-Thanh P. Static, free vibration and buckling analyses of stiffened plates by CS-FEM-DSG3 using triangular elements. Computers & Structures, 2013, 125: 100–113

[44] Nguyen-Thoi T, Phung-Van P, Luong-Van H, Nguyen-Van H, Nguyen-Xuan H. A cell-based smoothed three-node Mindlin plate element (CS-MIN3) for static and free vibration analyses of plates. Computational Mechanics, 2013, 51(1): 65–81

[45] Nguyen-Thoi T, Phung-Van P, Thai-Hoang C, Nguyen-Xuan H. A cell-based smoothed discrete shear gap method (CS-DSG3) using triangular elements for static and free vibration analyses of shell structures. International Journal of Mechanical Sciences, 2013, 74: 32–45

[46] Phan-Dao H H, Nguyen-Xuan H, Thai-Hoang C, Nguyen-Thoi T, Rabczuk T. An edge-based smoothed finite element method for analysis of laminated composite plates. International Journal of Computational Methods, 2013, 10(01): 1340005

[47] Phung-Van P, Nguyen-Thoi T, Tran L V, Nguyen-Xuan H. A cell-based smoothed discrete shear gap method (CS-DSG3) based on the C0-type higher-order shear deformation theory for static and free vibration analyses of functionally graded plates. Computational Materials Science, 2013, 79: 857–872

[48] Luong-Van H, Nguyen-Thoi T, Liu G R, Phung-Van P. A cell-based smoothed finite element method using three-node shear-locking free Mindlin plate element (CS-FEM-MIN3) for dynamic response of laminated composite plates on viscoelastic foundation. Engineering Analysis with Boundary Elements, 2014, 42: 8–19

[49] Nguyen-Thoi T, Bui-Xuan T, Phung-Van P, Nguyen-Hoang S, Nguyen-Xuan H. An edge-based smoothed three-node mindlin plate element (ES-MIN3) for static and free vibration analyses of plates. KSCE Journal of Civil Engineering, 2014, 18(4): 1072–1082

[50] Phung-Van P, Nguyen-Thoi T, Luong-Van H, Lieu-Xuan Q. Geometrically nonlinear analysis of functionally graded plates using a cell-based smoothed three-node plate element (CS-MIN3) based on the C0-HSDT. Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering, 2014, 270: 15–36

[51] Phung-Van P, Nguyen-Thoi T, Le-Dinh T, Nguyen-Xuan H. Static and free vibration analyses and dynamic control of composite plates integrated with piezoelectric sensors and actuators by the cell-based smoothed discrete shear gap method (CS-FEM-DSG3). Smart Materials and Structures, 2013, 22(9): 17

[52] Nguyen-Xuan H, Liu G R, Nguyen-Thoi T, Nguyen-Tran C. An edge-based smoothed finite element method for analysis of two-dimensional piezoelectric structures. Smart Materials and Structures, 2009, 18(6): 1–12

[53] Liu G R, Chen L, Nguyen-Thoi T, Zeng K Y, Zhang G Y. A novel singular node-based smoothed finite element method (NS-FEM) for upper bound solutions of fracture problems. International Journal for Numerical Methods in Engineering, 2010, 83(11): 1466–1497

[54] Nguyen-Thoi T, Liu G R, Vu-Do H C, Nguyen-Xuan H. A face-based smoothed finite element method (FS-FEM) for visco-elastoplastic analyses of 3D solids using tetrahedral mesh. Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering, 2009, 198(41−44): 3479–3498

[55] Nguyen-Thoi T, Vu-Do H C, Rabczuk T, Nguyen-Xuan H. A node-based smoothed finite element method (NS-FEM) for upper bound solution to visco-elastoplastic analyses of solids using triangular and tetrahedral meshes. Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering, 2010, 199(45−48): 3005–3027

[56] Nguyen-Thoi T, Liu G R, Vu-Do H C, Nguyen-Xuan H. An edge-based smoothed finite element method for visco-elastoplastic analyses of 2D solids using triangular mesh. Computational Mechanics, 2009, 45(1): 23–44

[57] Nguyen-Xuan H, Rabczuk T, Nguyen-Thoi T, Tran T N, Nguyen-Thanh N. Computation of limit and shakedown loads using a node-based smoothed finite element method. International Journal for Numerical Methods in Engineering, 2012, 90(3): 287–310

[58] Tran T N, Liu G R, Nguyen-Xuan H, Nguyen-Thoi T. An edge-based smoothed finite element method for primal−dual shakedown analysis of structures. International Journal for Numerical Methods in Engineering, 2010, 82: 917–938

[59] Nguyen-Thoi T, Phung-Van P, Rabczuk T, Nguyen-Xuan H, Le-Van C. An application of the ES-FEM in solid domain for dynamic analysis of 2d fluid-solid interaction problems. International Journal of Computational Methods, 2013, 10

[60] Nguyen-Thoi T, Phung-Van P, Rabczuk T, Nguyen-Xuan H, Le-Van C. Free and forced vibration analysis using the n-sided polygonal Cell-Based Smoothed Finite Element Method (NCS-FEM). International Journal of Computational Methods, 2013, 10(01): 1340008

[61] Bletzinger K U, Bischoff M, Ramm E. A unified approach for shear-locking-free triangular and rectangular shell finite elements. Computers & Structures, 2000, 75(3): 321–334

[62] Phung-Van P, Nguyen-Thoi T, Tran L V, Nguyen-Xuan H. A cell-based smoothed discrete shear gap method (CS-DSG3) based on the C-0-type higher-order shear deformation theory for static and free vibration analyses of functionally graded plates. Computational Materials Science, 2013, 79: 857–872

[63] Phung-Van P, Nguyen-Thoi T, Dang-Trung H, Nguyen-Minh N. A cell-based smoothed discrete shear gap method (CS-FEM-DSG3) using layerwise theory based on the C0-type higher-order shear deformation for static and free vibration analyses of sandwich and composite plates. Composite Structures, 2014, 111: 553–565

[64] Phung-Van P, Luong-Van H, Nguyen-Thoi T, Nguyen-Xuan H. A cell-based smoothed discrete shear gap method (CS-DSG3) based on the higher-order shear deformation theory for dynamic responses of Mindlin plates on the viscoelastic foundation subjected to a moving sprung vehicle. International Journal for Numerical Methods in Engineering, 2014, 98(13): 988–1014

[65] Phung-Van P, Nguyen-Thoi T, Luong-Van H, Thai-Hoang C, Nguyen-Xuan H. A cell-based smoothed discrete shear gap method (CS-FEM-DSG3) using layerwise deformation theory for dynamic response of composite plates resting on viscoelastic foundation. Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering, 2014, 272: 138–159

[66] Bischoff M, Bletzinger K U. Stabilized DSG plate and shell elements. Trends in Computational structural mechanics. CIMNE. Barcelona, Spain, 2001

[67] Lyly M, Stenberg R, Vihinen T. A stable bilinear element for the Reissner-Mindlin plate model. Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering, 1993, 110(3−4): 343–357

[68] Babuška I, Caloz G, Osborn J. Special finite element methods for a class of second order elliptic problems with rough coefficients. SIAM Journal on Numerical Analysis, 1994, 31(4): 945–981

[69] Melenk J M. On Generalized Finite Element M<?Pub Caret?>ethods: University of Maryland, 1995

[70] Babuška I, Melenk J. The partition of unity finite element method. International Journal for Numerical Methods in Engineering, 1997, 40(4): 727–758

[71] Simone A, Duarte C A, Van der Giessen E. A Generalized Finite Element Method for polycrystals with discontinuous grain boundaries. International Journal for Numerical Methods in Engineering, 2006, 67(8): 1122–1145

[72] Babuška I, Nistor V, Tarfulea N. Generalized finite element method for second-order elliptic operators with Dirichlet boundary conditions. Journal of Computational and Applied Mathematics, 2008, 218(1): 175–183

[73] Dolbow J, Moës N, Belytschko T. Modeling fracture in Mindlin−Reissner plates with the extended finite element method. International Journal of Solids and Structures, 2000, 37(48−50): 7161–7183

[74] Ventura G. On the elimination of quadrature subcells for discontinuous functions in the eXtended Finite-Element Method. International Journal for Numerical Methods in Engineering, 2006, 66(5): 761–795

RIGHTS & PERMISSIONS

Higher Education Press and Springer-Verlag Berlin Heidelberg