Deep-Space Navigation Based on Stellar Angular Measurements and Planetary Limb Observations of Jupiter

Abstract

To satisfy the requirements of highly autonomous and real-time Jupiter exploration, an autonomous orbit determination method based on active-reference measurements and stellar aberration was proposed. An onboard active optical reference source was used to establish a common alignment reference for multiple star trackers. By combining stellar aberration measurements derived from the optical axes of different star trackers with observations of Jupiter’s line-of-sight direction and apparent angular radius from a wide-field-of-view navigation sensor, autonomous spacecraft orbit determination was achieved. A stellar aberration measurement model and an active-reference geometric constraint model were formulated, and an Extended Kalman Filter-based autonomous navigation algorithm was developed. On-orbit experiments using a low-Earth-orbit satellite demonstrate a positioning accuracy better than 5 km, validating the feasibility of the proposed approach for high-precision autonomous navigation of deep-space spacecraft under long-range weak-signal conditions.

Graphical abstract

引　言

木星作为太阳系的“行星之王”，拥有复杂而庞大的卫星系统，常被称为“微型太阳系”。木星多颗卫星极可能存在能够孕育生命的冰下海洋，同时，天文学家目前已发现相当比例的系外行星都是类木气态巨行星。因此，木星系统作为天文学家理解太阳系起源与演化、寻找地外生命、“近距离”研究系外行星的一个蓝本，一直是深空探测的热点。迄今为止，已有多达9台深空探测器抵达过木星并开展科学探测活动^[1]，其中“朱诺号”（Juno）探测器仍活跃在环木星轨道进行科学探测，2030年前后还有“露西号”（Lucy） 、木星冰卫星探测器（JUpiter ICy moons Explorer，JUICE）、“欧罗巴快帆”（Europa Clipper）等3台美国及欧洲探测器先后飞抵木星附近对木星的特洛伊（Trojan）小行星、木星的冰卫星（木卫二、木卫三以及木卫四）开展科学探测^[1]。为提升中国深空探测的科学技术水平，为人类太空探索事业贡献中国智慧，中国在火星、近地小行星探测任务之后进一步规划了面向木星及其卫星的科学探测任务^[2]。然而，木星系统环境恶劣，且距离地球可达6个天文单位（Astronomical Unit，AU），单程信号延迟 50 min以上，地面测控已难以实现对探测器的实时干预。尽管中国已经具备了木星探测器的跟踪测量能力^[3]，但目前仍难以达到美国国家航空航天局（National Aeronautics and Space Administration，NASA）、欧洲航天局（European Space Agency，ESA）的深空精密测控水平^[4]。因此，为确保木星探测任务的顺利完成，参考“天问一号”火星探测器的成功经验^[5]，中国木星探测器应具备千米级自主导航能力^[6]。

恒星光行差导航（Stellar Aberration Navigation，SAN）是一种基于恒星光行差效应推算航天器速度矢量的自主导航方法。其利用恒星光线入射方向随航天器运动速度变化而产生的视向偏移来反演航天器速度，从而实现不依赖地面测控或全球卫星定位系统（Global Navigation Satellite System，GNSS）的深空自主导航^[7-^8]。光行差不依赖于太阳的光照条件，距离太阳数10 AU仍可正常工作，而且基于传统用于惯性定姿的星敏感器两两配对就能够用于光行差角距余弦测量，无需额外增加导航敏感器。光行差属于速度测量型自主导航技术，可与位置测量型（行星视线/视半径导航、X射线脉冲星导航等）形成互补，为探测器提供速度自主估计能力以提高导航的滤波收敛速度，同时约束轨道加速度项的漂移。

光行差导航测速精度依赖于恒星角距的精确测量（其误差放大因子为光速c），而且星敏感器的安装由于受到运载火箭发射时振动及入轨后空间热环境的影响，与发射前精测安装存在较大的变化，其量级可达角分水平，可能超过探测器飞行产生的光行差（以木星轨道探测器为例，探测器飞行速度对应光行差约20～40″）。不同于文献[9-10]采用速度或视线等部分测量信息进行导航系统设计，本文基于传统惯性定姿的星敏感器，提出引入主动基准测量方法消除星敏感器结构形变对光行差角距的测量影响，同时利用宽视场敏感器对木星光学轮廓进行木心视线及木星视半径测量，实现完整的测速、测角和测距信息的滤波和融合，从而有效提高木星探测器的自主导航精度至千米级水平。

基于恒星角距的速度测量

相对论光行差

光行差是天文学家根据目标的方位（如赤经α和赤纬δ）偏移量定义的，即，根据赤经和赤纬将望远镜指向预定目标时，需将赤经α及赤纬δ向地球飞行的速度方向偏移Δα及Δδ（根据\mathit{z}(\alpha ,\delta )+\mathit{v}求出Δα及Δδ）。然而，航天器使用的星敏感器是根据光轴所观察到的恒星确定惯性方向，是天文学家观测目标的逆过程，即根据星敏感器所观察到的恒星赤经α、赤纬δ确定方向z，即

(1)\mathit{z}=[\cos \delta \cos \alpha ,\cos \delta \sin \alpha ,\sin \delta {]}^{\mathrm{T}}

其中，

(2)\{\begin{array}{rl}& \alpha =\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{n}2(z_y,z_x)\in [-\text{π},\text{π}]\\ & \delta =\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{c}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}{z}_z\in [-\text{π}/2,\text{π}/2]\end{array}

根据星敏感器所识别出的恒星，通过查询恒星在星表中的坐标{α, δ}确定星敏感器光轴的惯性指向z。

由于光速c有限，当航天器以速度v运动时，恒星的星光如雨点般倾向于在航天器飞行方向的前方出现，如图1中s₂ → s → s₁所示。因此，星敏感器光轴z本应看到的恒星s移动到s₁的位置；而光轴上识别到的恒星，则是光轴后方的恒星s₂，沿飞行方向出现在了当前光轴上（s₂ → s）。

根据上述分析，要构造出星敏感器光轴z受到的光行差影响后的光轴测量量z_m，应将速度v取反，由相对论速度合成方法可得

(3){\mathit{z}}_m={\displaystyle \frac{1}{1-{\displaystyle \frac{\mathit{v}\cdot \mathit{z}}{c}}}}\left({\displaystyle \frac{\mathit{z}}{{\gamma }_v}}-{\displaystyle \frac{\mathit{v}}{c}}+{\displaystyle \frac{1}{c^2}}{\displaystyle \frac{{\gamma }_v}{{\gamma }_v+1}}\left(\mathit{v}\cdot \mathit{z}\right)\mathit{v}\right)

其中，洛伦兹因子γ_v为

(4){\gamma }_{\mathit{v}}={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{1-{\displaystyle \frac{\mathit{v}\cdot \mathit{\text{v}}}{c^2}}}}}

由相对论速度合成方法，真指向z为

(5)\mathit{z}={\displaystyle \frac{1}{1+{\displaystyle \frac{\mathit{v}\cdot {\mathit{z}}_m}{c}}}}\left[{\displaystyle \frac{{\mathit{z}}_m}{{\gamma }_v}}+{\displaystyle \frac{\mathit{v}}{c}}+{\displaystyle \frac{1}{c^2}}{\displaystyle \frac{{\gamma }_v}{{\gamma }_v+1}}\left(\mathit{v}\cdot {\mathit{z}}_m\right)\mathit{v}\right]

为修正光行差以获得星敏感器光轴及横轴的真实指向，可将其作为小角度做近似处理，则校正矩阵为^[11]

(6){\mathit{C}}_{\mathrm{r}\mathrm{m}}=\mathit{I}-{\mathit{\Phi }}^{\times }

其中：Φ =[φ，θ，ψ]^T，且

(7){\mathit{\Phi }}^{\times }=\left[\begin{array}{ccc}0& -\psi & \theta \\ \psi & 0& -\phi \\ -\theta & \phi & 0\end{array}\right]

(8)\mathit{z}={\mathit{C}}_{\mathrm{r}\mathrm{m}}{\mathit{z}}_m={\displaystyle \frac{1}{1+{\displaystyle \frac{\mathit{v}\cdot {\mathit{z}}_m}{c}}}}\left[{\displaystyle \frac{{\mathit{z}}_m}{{\gamma }_v}}+{\displaystyle \frac{\mathit{v}}{c}}+{\displaystyle \frac{{\gamma }_v\left(\mathit{v}\cdot {\mathit{z}}_m\right)\mathit{v}}{c^2\left({\gamma }_v+1\right)}}\right]

(9)\left(\mathit{I}-{\mathit{\Phi }}^{\times }\right){\mathit{z}}_m={\displaystyle \frac{1}{1+{\displaystyle \frac{\mathit{v}\cdot {\mathit{z}}_m}{c}}}}\left[{\displaystyle \frac{{\mathit{z}}_m}{{\gamma }_v}}+{\displaystyle \frac{\mathit{v}}{c}}+{\displaystyle \frac{{\gamma }_v\left(\mathit{v}\cdot {\mathit{z}}_m\right)\mathit{v}}{c^2\left({\gamma }_v+1\right)}}\right]

进一步整理可得

(10)\{\begin{array}{rl}& -{\mathit{\Phi }}^{\times }{\mathit{z}}_m=-{\mathit{z}}_m+{\displaystyle \frac{c}{c+\mathit{v}\cdot {\mathit{z}}_m}}\left[{\displaystyle \frac{{\mathit{z}}_m}{{\gamma }_{\mathit{v}}}}+{\displaystyle \frac{\mathit{v}}{c}}+{\displaystyle \frac{{\gamma }_v\left(\mathit{\text{v}}\cdot {\mathit{z}}_m\right)\mathit{v}}{c^2\left({\gamma }_v+1\right)}}\right]\\ & \iff {\mathit{z}}_m^{\times }\mathit{\Phi }=-{\mathit{z}}_m+{\displaystyle \frac{c}{c+\mathit{v}\cdot {\mathit{z}}_m}}\left[{\displaystyle \frac{{\mathit{z}}_m}{{\gamma }_{\mathit{v}}}}+{\displaystyle \frac{\mathit{v}}{c}}+{\displaystyle \frac{{\gamma }_v\left(\mathit{\text{v}}\cdot {\mathit{z}}_m\right)\mathit{v}}{c^2\left({\gamma }_v+1\right)}}\right]\end{array}

由于{\mathit{z}}_m^{\times }为3 × 3的反对称阵，不存在通常意义的逆矩阵。但是当z_m不是零向量时，取{\mathit{z}}_m^{\times }的伪逆仍可以获得上述方程的唯一解，即

(11)\mathit{\Phi }=\text{pinv}\left({\mathit{z}}_m^{\times }\right)\left\{-{\mathit{z}}_m+{\displaystyle \frac{c}{c+\mathit{v}\cdot {\mathit{z}}_m}}\left[{\displaystyle \frac{{\mathit{z}}_m}{{\gamma }_v}}+{\displaystyle \frac{\mathit{v}}{c}}+{\displaystyle \frac{{\gamma }_v\left(\mathit{v}\cdot {\mathit{z}}_m\right)\mathit{v}}{c^2\left({\gamma }_v+1\right)}}\right]\right\}

其中：\text{pinv}\left({\mathit{z}}_m^{\times }\right)为矩阵{\mathit{z}}_m^{\times }的伪逆。

当速度\Vert \mathit{v}\Vert \ll c时γ_v ≈ 1，v·z_m/c ≈ 0，近似解为

(12)\mathit{\Phi }=\text{pinv}\left({\mathit{z}}_m^{\times }\right){\displaystyle \frac{\mathit{v}}{c}}

根据上述推导，采用星敏感器i，j的光轴测量结果z_m之内积作为光行差角距余弦测量值y_ij，即

(13)y_{ij}={\mathit{z}}_{mi}^{\text{T}}{\mathit{z}}_{mj}

而根据公式采用真实指向z计算的光行差角距的余弦^[12]为

(14)y_{ij}={\mathit{z}}_i^{\text{T}}{\mathit{z}}_j-\left(1-{\mathit{z}}_i^{\text{T}}{\mathit{z}}_j\right){\left({\mathit{z}}_i+{\mathit{z}}_j\right)}^{\text{T}}{\displaystyle \frac{\mathit{v}}{c}}+o\left(\mathit{v},{\mathit{z}}_i,{\mathit{z}}_j\right)

其中：o\left(\mathit{v},{\mathit{z}}_i,{\mathit{z}}_j\right)为\mathit{v}、{\mathit{z}}_i、{\mathit{z}}_j的高阶小量。

对测量值式（13）与理论值式（14）进行仿真，结果高度一致，如图2所示，说明光行差模型正确。

基于恒星光行差角距余弦的速度测量

根据前述分析，通过光行差角距余弦的测量，可获得速度信息，即

(15)h_{ij}\approx {\mathit{z}}_{mi}^{\text{T}}{\mathit{z}}_{mj}+\left(1-{\mathit{z}}_{mi}^{\text{T}}{\mathit{z}}_{mj}\right){\left({\mathit{z}}_{mi}+{\mathit{z}}_{mj}\right)}^{\mathrm{T}}{\displaystyle \frac{\left({\mathit{v}}_{\mathrm{T}}+{\mathit{v}}_{\mathrm{J}}\right)}{c}}

其中：c为光速；h_ij（i，j = 1，2，3，i ≠ j）为星敏感器i，j的安装夹角余弦，其不受恒星光行差的影响，但会受到星敏感器的热结构形变影响，需通过基准测量进行补偿；v_T为探测器相对于木星的环绕速度；v_J为木星相对于太阳系质心（Solar System Barycenter，SSB）的三维速度，可根据行星星历（如DE440/441精密星历）计算得到。根据上述关系式，通过三台星敏感器的角距余弦的测量，可以解算出探测器相对木星的速度，即

(16){\mathit{v}}_{\mathrm{T}}\approx c{\left(\begin{array}{c}\left(1-{\mathit{z}}_{m1}^{\text{T}}{\mathit{z}}_{m2}\right){\left({\mathit{z}}_{m1}+{\mathit{z}}_{m2}\right)}^{\text{T}}\\ \left(1-{\mathit{z}}_{m2}^{\text{T}}{\mathit{z}}_{m3}\right){\left({\mathit{z}}_{m2}+{\mathit{z}}_{m3}\right)}^{\text{T}}\\ \left(1-{\mathit{z}}_{m1}^{\text{T}}{\mathit{z}}_{m3}\right){\left({\mathit{z}}_{m1}+{\mathit{z}}_{m3}\right)}^{\text{T}}\end{array}\right)}^{-1}\left(\left[\begin{array}{c}{h}_{12}\\ h_{23}\\ h_{13}\end{array}\right]-\left[\begin{array}{c}{\mathit{z}}_{m1}^{\text{T}}{\mathit{z}}_{m2}\\ {\mathit{z}}_{m2}^{\text{T}}{\mathit{z}}_{m3}\\ {\mathit{z}}_{m1}^{\text{T}}{\mathit{z}}_{m3}\end{array}\right]\right)-{\mathit{v}}_{\mathrm{J}}

若星敏感器能够对所有识别出的星点进行处理，则可获得多个测量结果，采用伪逆法，可获得k时刻的速度最小二乘估计，即

(17)\hat{\mathit{v}}\approx c\cdot \text{pinv}\left(\begin{array}{c}⋮\\ \left(1-{\mathit{z}}_{mi}^{\text{T}}{\mathit{z}}_{mj}\right){\left({\mathit{z}}_{mi}+{\mathit{z}}_{mj}\right)}^{\text{T}}\\ ⋮\end{array}\right)\left(\left[\begin{array}{c}⋮\\ h_{ij}\\ ⋮\end{array}\right]-\left[\begin{array}{c}⋮\\ {\mathit{z}}_{mi}^{\text{T}}{\mathit{z}}_{mj}\\ ⋮\end{array}\right]\right)-{\mathit{v}}_{\mathrm{J}}

星历表的速度精度

恒星星表（如第谷星表、依巴谷星表、盖亚星表等）均采用太阳系质心惯性系描述恒星方位，因此通过恒星光行差角距余弦获得的速度估计是探测器相对于日心的惯性速度。为获得探测器相对中心天体的相对速度，必须扣除中心天体相对SSB的惯性速度，该速度可由行星星历给出。因此，若中心天体的星历数据精度不足，则基于恒星光行差获得的相对速度也会很差。目前针对最常用的DE星历速度精度评估较少，本文对DE440/DE441星历的木星速度精度进行评估，DE系列星历及其任务需求如表1所示。其基本思想：宏观系统位置测量得越准，速度测量相应也越准，二者存在约束关系。在引力场中，位置与势能相关，速度与动能相关，而势能与动能形成的总能量是守恒的，因此可采用能量守恒法对位置和速度变化量的相关性进行量级上的评估。

设E_J为木星的轨道总能量，其值为轨道动能与轨道势能之和，即

(18)E_{\mathrm{J}}={\displaystyle \frac{v_{\mathrm{J}}^2}{2}}-{\displaystyle \frac{{\mu }_{\mathrm{S}}}{r_{\mathrm{J}}}}

其中：v_J为木星的轨道速度大小；r_J为木星相对日心的距离；μ_S 为太阳引力常数。

由机械能守恒定律可知

(19){\displaystyle \frac{\text{d}}{\text{d}t}}\left({\displaystyle \frac{v_{\mathrm{J}}^2}{2}}-{\displaystyle \frac{{\mu }_{\mathrm{S}}}{r_{\mathrm{J}}}}\right)=0

(20)v_{\mathrm{J}}{\dot{v}}_{\mathrm{J}}+{\displaystyle \frac{{\mu }_{\mathrm{S}}}{r_{\mathrm{J}}^2}}{\dot{r}}_{\mathrm{J}}=0

令δr_J表示木星位置的变化量，δv_J表示木星速度的变化量，那么

(21)\delta v_{\mathrm{J}}={\dot{v}}_{\mathrm{J}}\delta t,\delta r_{\mathrm{J}}={\dot{r}}_{\mathrm{J}}\delta t

(22)v_{\mathrm{J}}\delta v_{\mathrm{J}}+{\displaystyle \frac{{\mu }_{\mathrm{S}}}{r_{\mathrm{J}}^2}}\delta r_{\mathrm{J}}=0

整理得

(23)\left|\delta v_{\mathrm{J}}\right|={\displaystyle \frac{{\mu }_{\mathrm{S}}}{r_{\mathrm{J}}^2}}\left|{\displaystyle \frac{\delta r_{\mathrm{J}}}{v_{\mathrm{J}}}}\right|

可见木星速度变化量δv_J是速度v_J、位置r_J及位置变化量δr_J的函数，位置精度越高，速度精度相应也越高，反之亦然。因此，采用位置的精度（或不确定度）可对速度精度（或不确定度）进行大致估算。

根据文献[13]，DE440星历以各天体的探测器观测数据残差表征星历精度，其中木星以Juno探测器的4年单程测距残差均方根（13 m）评估木星轨道形状误差，以Juno的2年VLBA（Very Long Baseline Array）残差评估木星在天球坐标系的方向误差，其中赤经均方根误差为0.4 mas，赤纬均方根误差为0.6 mas。根据日木平均距离（r_J = 7.7834082 × 10¹¹ m），相应位置误差：赤经位置误差(1\sigma )=1.5125\mathrm{k}\mathrm{m}，赤纬位置误差(1\sigma )=2.2688\mathrm{k}\mathrm{m}。

那么，切向位置总误差8.180 2 km（3σ）。若进一步考虑Juno径向距离均方根误差13 m，则总位置误差也不超过8.2 km（3σ）。已知太阳引力常数为μ_S = 1.327 124 4 × 10²⁰ m³/s²，木星轨道平均速度为v_J = 1.305 6 × 10⁴ m/s，木星星历位置不确定度按δr_J = 8.2 × 10³ m代入式（23）可得速度不确定度为

|\delta v_{\mathrm{J}}|\approx 1.4\times {10}^{-4}\mathrm{m}/\mathrm{s}

因此，理论上根据木星星历位置误差推算的木星星历速度误差应该很小，其量级应在亚毫米每秒。作为参考，文献[4]给出的Juno测速残差优于0.11 mm/s，与上述估算的结果基本一致，同时也符合文献[13]的论断。

综上，即使采用精度高达1 mas的星敏感器进行恒星角距余弦测量，测速精度约在数米每秒的量级，采用目前最新的DE440星历给出的木星公转速度仍满足基于恒星光行差角距余弦的速度测量需求，可作为环木星测速导航的基准星历。

基于天体轮廓的测距与定心

在航天器运行过程中，利用在航天器配置的地球敏感器获得地心方位，同时利用星敏感器观测天球上的恒星，通过计算恒星视线方向矢量的夹角得到恒星角距余弦观测量；进而通过扩展卡尔曼滤波器（Extended Kalman Filter，EKF），结合航天器轨道动力学模型，处理地心方位和恒星角距余弦观测量，迭代计算估计得到航天器的位置和速度信息。基于木心方位和恒星观测的自主测距基本方法如图3所示。

测距与定心

根据宽视场敏感器得到的木星圆盘视半径ρ_J，单位为rad，可求得木心距，基于宽视场敏感器的木星边缘提取与定心如图4所示。

(24)\left|\left|\mathit{r}\right|\right|={\displaystyle \frac{R_{\mathrm{J}}}{\sin {\rho }_{\mathrm{J}}}}

其中：R_J为木星半径。

卫星在惯性系的位置矢量为

(25){\mathit{r}}_{\mathrm{I}}={\mathit{C}}_{\mathrm{B}\mathrm{I}}^{\text{T}}{\mathit{r}}_{\mathrm{B}}=-\left|\left|\mathit{r}\right|\right|{\mathit{C}}_{\mathrm{B}\mathrm{I}}^{\text{T}}{\mathit{r}}_{\mathrm{B}}^0

其中：惯性姿态C_BI = C_BI(q_BI)由星敏感器与陀螺定姿获得；中心矢量{\mathit{r}}_{\mathrm{B}}^0由宽视场敏感器通过边缘检测后进行定心获得^[14]。即通过宽视场敏感器对天体中心{\mathit{E}}_b=[e_{bx},e_{by}{]}^{\mathrm{T}}的测量，可获得探测器相对木星方位的信息为

(26)\left[\begin{array}{c}{e}_{bx}\\ e_{by}\end{array}\right]=-{\displaystyle \frac{1}{\left|\left|\mathit{r}\right|\right|}}\left[\begin{array}{c}{u}_1\\ u_2\end{array}\right]

其中，

(27)\left[\begin{array}{c}{u}_1\\ u_2\\ \ast \end{array}\right]={\mathit{C}}_{\mathrm{B}\mathrm{I}}\mathit{r}={\mathit{C}}_{\mathrm{B}\mathrm{I}}\left[\begin{array}{c}{r}_x\\ r_y\\ r_z\end{array}\right]

则

(28){\mathit{r}}_{\text{B}}^0={\left[e_{bx}{e}_{by}\sqrt{1-e_{bx}^2-e_{by}^2}\right]}^{\text{T}}

误差分析

设宽视场敏感器测量精度Δρ，则垂直视线方向的横向误差为

(29){\epsilon }_{\mathrm{v}\mathrm{e}\mathrm{r}\mathrm{t}\mathrm{i}\mathrm{c}\mathrm{a}\mathrm{l}}=\left(R_{\mathrm{J}}+h\right)\times \mathrm{\Delta }\rho

其中：h为探测器飞行高度。

沿视线方向的径向误差为

(30){\epsilon }_{\mathrm{a}\mathrm{x}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{l}}={\displaystyle \frac{R_{\mathrm{J}}}{{\sin }^2{\rho }_{\mathrm{J}}}}\cos {\rho }_{\mathrm{J}}\times \mathrm{\Delta }\rho +{\displaystyle \frac{\mathrm{\Delta }{R}_{\mathrm{J}}}{\sin {\rho }_{\mathrm{J}}}}

其中：ΔR_J为目标天体半径的模型误差。

天体视半径为

(31){\rho }_{\mathrm{J}}=\arcsin {\displaystyle \frac{R_{\mathrm{J}}}{R_{\mathrm{J}}+h}}

则总定位误差为

(32)\epsilon =\sqrt{{\epsilon }_{\mathrm{v}\mathrm{e}\mathrm{r}\mathrm{t}\mathrm{i}\mathrm{c}\mathrm{a}\mathrm{l}}^2+{\epsilon }_{\mathrm{a}\mathrm{x}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{l}}^2}

以地球LEO轨道卫星为例，地球赤道半径为6 378.137 km，面阵静态红外地球敏感器测角精度约为0.03°，则卫星在500 km高度飞行时采用地球轮廓进行自主导航（考虑二氧化碳层高度约40 km），其定位误差约为3.9 km。进一步根据式（23）可知，对应速度误差约为4.3 m/s。

误差标定与补偿

星敏感器的基准测量与补偿

毫角秒星敏感器感光探测器焦平面具有发光和收光功能，测量星敏感器相对于整星中央棱镜的基准变化，进而消除结构热变形的影响，可获得仅由光行差引起的恒星角距变化。星敏感器基准测量原理如图5所示。设中央棱镜坐标系与星敏感器同时输出惯性测量四元数q_si和相对中央棱镜的基准实时变化相对四元数q_s0s，则

(33){\mathit{C}}_{bi}({\mathit{q}}_{bi})={\mathit{C}}_{bj}\cdot {\mathit{C}}_{js0}\cdot {\mathit{C}}_{s0s}({\mathit{q}}_{s0s})\cdot {\mathit{C}}_{si}({\mathit{q}}_{si})

其中：C_bi为中央棱镜坐标系（真本体系）相对惯性系的姿态阵；C_bj为星敏感器基准镜相对中央棱镜坐标系的精测阵；C_js0为整星精测时星敏感器基准镜与星敏感器探测器坐标系的转换阵；C_s0s为实时测量的星敏感器探测器与中央基准镜的误差补偿阵；C_si为实时测量的星敏感器探测器相对惯性系的姿态阵。

为补偿星敏感器基准形变对于光行差角距的影响，可基于基准测量结果对星敏感器的安装矩阵或者星敏感器测量惯性姿态输出进行补偿，二者可以获得等效的补偿效果。

星敏感器的光轴夹角余弦校正

参考文献[15]，定义三台星敏感器的光轴指向为z_A、z_B、z_C，则经过光行差校正后，星敏感器在惯性系下的实测指向为

(34)\{\begin{array}{r}{\mathit{z}}_A^{\mathrm{m}\mathrm{e}\mathrm{a}}=[\begin{array}{ccc}{z}_{Ax}^{\mathrm{m}\mathrm{e}\mathrm{a}}& z_{Ay}^{\mathrm{m}\mathrm{e}\mathrm{a}}& z_{Az}^{\mathrm{m}\mathrm{e}\mathrm{a}}\end{array}{]}^{\text{T}}\\ {\mathit{z}}_B^{\mathrm{m}\mathrm{e}\mathrm{a}}=[\begin{array}{ccc}{z}_{Bx}^{\mathrm{m}\mathrm{e}\mathrm{a}}& z_{By}^{\mathrm{m}\mathrm{e}\mathrm{a}}& z_{Bz}^{\mathrm{m}\mathrm{e}\mathrm{a}}\end{array}{]}^{\text{T}}\\ {\mathit{z}}_C^{\mathrm{m}\mathrm{e}\mathrm{a}}=[\begin{array}{ccc}{z}_{Cx}^{\mathrm{m}\mathrm{e}\mathrm{a}}& z_{Cy}^{\mathrm{m}\mathrm{e}\mathrm{a}}& z_{Cz}^{\mathrm{m}\mathrm{e}\mathrm{a}}\end{array}{]}^{\text{T}}\end{array}

本体系下，星敏感器经过基准形变校正后的安装指向为

(35)\{\begin{array}{r}{\mathit{z}}_A^{\mathrm{a}\mathrm{m}\mathrm{b}}=[\begin{array}{ccc}{z}_{Ax}^{\mathrm{a}\mathrm{m}\mathrm{b}}& z_{Ay}^{\mathrm{a}\mathrm{m}\mathrm{b}}& z_{Az}^{\mathrm{a}\mathrm{m}\mathrm{b}}\end{array}{]}^{\text{T}}={\mathit{C}}_{SA\mathrm{\_}SA0}{\mathit{C}}_{SA0\mathrm{\_}Ab}[\begin{array}{ccc}0& 0& 1\end{array}{]}^{\text{T}}\\ {\mathit{z}}_B^{\mathrm{a}\mathrm{m}\mathrm{b}}=[\begin{array}{ccc}{z}_{Bx}^{\mathrm{a}\mathrm{m}\mathrm{b}}& z_{By}^{\mathrm{a}\mathrm{m}\mathrm{b}}& z_{Bz}^{\mathrm{a}\mathrm{m}\mathrm{b}}\end{array}{]}^{\text{T}}={\mathit{C}}_{SB\mathrm{\_}SB0}{\mathit{C}}_{SB0\mathrm{\_}Bb}[\begin{array}{ccc}0& 0& 1\end{array}{]}^{\text{T}}\\ {\mathit{z}}_C^{\mathrm{a}\mathrm{m}\mathrm{b}}=[\begin{array}{ccc}{z}_{Cx}^{\mathrm{a}\mathrm{m}\mathrm{b}}& z_{Cy}^{\mathrm{a}\mathrm{m}\mathrm{b}}& z_{Cz}^{\mathrm{a}\mathrm{m}\mathrm{b}}\end{array}{]}^{\text{T}}={\mathit{C}}_{SC\mathrm{\_}SC0}{\mathit{C}}_{SC0\mathrm{\_}Cb}[\begin{array}{ccc}0& 0& 1\end{array}{]}^{\text{T}}\end{array}

其中：C_{SA_SA0}、C_{SB_SB0}、C_{SC_SC0}为星敏感器基准形变测量值；C_{SA0_Ab0}、C_{SB0_Bb0}、C_{SC0_Cb0}为星敏感器初始安装矩阵。

定义星敏感器光轴夹角余弦为cosα_AB、cosα_AC、cosα_BC，则

(36)\begin{array}{rl}\cos {\alpha }_{AB}^{\mathrm{m}\mathrm{e}\mathrm{a}}=& {\left({\mathit{z}}_A^{\mathrm{m}\mathrm{e}\mathrm{a}}\right)}^{\text{T}}{\mathit{z}}_B^{\mathrm{m}\mathrm{e}\mathrm{a}}={\left({\mathit{C}}_{ib}{\mathit{C}}_{Ab\mathrm{\_}Ab0}{\mathit{z}}_A^{\mathrm{a}\mathrm{m}\mathrm{b}}\right)}^{\text{T}}{\mathit{C}}_{ib}{\mathit{C}}_{Bb\mathrm{\_}Bb0}{\mathit{z}}_B^{\mathrm{a}\mathrm{m}\mathrm{b}}=\\ & {\left({\mathit{z}}_A^{\mathrm{a}\mathrm{m}\mathrm{b}}\right)}^{\text{T}}{\mathit{C}}_{Ab\mathrm{\_}Ab0}^{\text{T}}{\mathit{C}}_{ib}^{\text{T}}{\mathit{C}}_{ib}{\mathit{C}}_{Bb\mathrm{\_}Bb0}{\mathit{z}}_B^{\mathrm{a}\mathrm{m}\mathrm{b}}=\\ & {\left({\mathit{z}}_A^{\mathrm{a}\mathrm{m}\mathrm{b}}\right)}^{\text{T}}{\mathit{C}}_{Ab\mathrm{\_}Ab0}^{\text{T}}{\mathit{C}}_{Bb\mathrm{\_}Bb0}{\mathit{z}}_B^{\mathrm{a}\mathrm{m}\mathrm{b}}={\left({\mathit{z}}_A^{\mathrm{a}\mathrm{m}\mathrm{b}}\right)}^{\text{T}}\mathrm{\Delta }{\mathit{C}}_{AB}{\mathit{z}}_B^{\mathrm{a}\mathrm{m}\mathrm{b}}\end{array}

其中，

(37)\mathrm{\Delta }{\mathit{C}}_{AB}={\mathit{C}}_{Ab\mathrm{\_}Ab0}^{\text{T}}{\mathit{C}}_{Bb\mathrm{\_}Bb0}

同理

(38)\cos {\alpha }_{AC}^{\mathrm{m}\mathrm{e}\mathrm{a}}={\left({\mathit{z}}_A^{\mathrm{a}\mathrm{m}\mathrm{b}}\right)}^{\text{T}}\mathrm{\Delta }{\mathit{C}}_{AC}{\mathit{z}}_C^{\mathrm{a}\mathrm{m}\mathrm{b}}

(39)\cos {\alpha }_{BC}^{\mathrm{m}\mathrm{e}\mathrm{a}}={\left({\mathit{z}}_B^{\mathrm{a}\mathrm{m}\mathrm{b}}\right)}^{\text{T}}\mathrm{\Delta }{\mathit{C}}_{BC}{\mathit{z}}_C^{\mathrm{a}\mathrm{m}\mathrm{b}}

设校正矩阵ΔC_AB、ΔC_AC、ΔC_BC为小角度近似矩阵。以ΔC_AB为例，令

(40)\mathrm{\Delta }{\mathit{C}}_{AB}=\mathit{I}-{\mathit{\Phi }}_{AB}^{\times }

其中：Φ_AB =[φ_AB, θ_AB, ψ_AB]^T，且

(41){\mathit{\Phi }}_{AB}^{\times }=\left[\begin{array}{ccc}0& -{\psi }_{AB}& {\theta }_{AB}\\ {\psi }_{AB}& 0& -{\phi }_{AB}\\ -{\theta }_{AB}& {\phi }_{AB}& 0\end{array}\right]

则

(42)\begin{array}{rl}\cos {\alpha }_{AB}^{\mathrm{m}\mathrm{e}\mathrm{a}}=& {\left({\mathit{z}}_A^{\mathrm{a}\mathrm{m}\mathrm{b}}\right)}^{\text{T}}\mathrm{\Delta }{\mathit{C}}_{AB}{\mathit{z}}_B^{\mathrm{a}\mathrm{m}\mathrm{b}}={\left({\mathit{z}}_A^{\mathrm{a}\mathrm{m}\mathrm{b}}\right)}^{\text{T}}\left(\mathit{I}-{\mathit{\Phi }}_{AB}^{\times }\right){\mathit{z}}_B^{\mathrm{a}\mathrm{m}\mathrm{b}}=\\ & {\left({\mathit{z}}_A^{\mathrm{a}\mathrm{m}\mathrm{b}}\right)}^{\text{T}}{\mathit{z}}_B^{\mathrm{a}\mathrm{m}\mathrm{b}}-{\left({\mathit{z}}_A^{\mathrm{a}\mathrm{m}\mathrm{b}}\right)}^{\text{T}}{\mathit{\Phi }}_{AB}^{\times }{\mathit{z}}_B^{\mathrm{a}\mathrm{m}\mathrm{b}}\end{array}

即

(43)\begin{array}{rl}\cos {\alpha }_{AB}^{\mathrm{m}\mathrm{e}\mathrm{a}}-& {\left({\mathit{z}}_A^{\mathrm{a}\mathrm{m}\mathrm{b}}\right)}^{\text{T}}{\mathit{z}}_B^{\mathrm{a}\mathrm{m}\mathrm{b}}=-{\left({\mathit{z}}_A^{\mathrm{a}\mathrm{m}\mathrm{b}}\right)}^{\text{T}}{\mathit{\Phi }}_{AB}^{\times }{\mathit{z}}_B^{\mathrm{a}\mathrm{m}\mathrm{b}}=\\ & {\left({\mathit{z}}_A^{\mathrm{a}\mathrm{m}\mathrm{b}}\right)}^{\text{T}}{\left({\mathit{z}}_B^{\mathrm{a}\mathrm{m}\mathrm{b}}\right)}^{\times }{\mathit{\Phi }}_{AB}\end{array}

整理得

(44)\cos {\alpha }_{AB}^{\mathrm{m}\mathrm{e}\mathrm{a}}-{\left({\mathit{z}}_A^{\mathrm{a}\mathrm{m}\mathrm{b}}\right)}^{\text{T}}{\mathit{z}}_B^{\mathrm{a}\mathrm{m}\mathrm{b}}={\left({\mathit{z}}_A^{\mathrm{a}\mathrm{m}\mathrm{b}}\right)}^{\text{T}}{\left({\mathit{z}}_B^{\mathrm{a}\mathrm{m}\mathrm{b}}\right)}^{\times }{\mathit{\Phi }}_{AB}

(45)\cos {\alpha }_{AC}^{\mathrm{m}\mathrm{e}\mathrm{a}}-{\left({\mathit{z}}_A^{\mathrm{a}\mathrm{m}\mathrm{b}}\right)}^{\text{T}}{\mathit{z}}_C^{\mathrm{a}\mathrm{m}\mathrm{b}}={\left({\mathit{z}}_A^{\mathrm{a}\mathrm{m}\mathrm{b}}\right)}^{\text{T}}{\left({\mathit{z}}_C^{\mathrm{a}\mathrm{m}\mathrm{b}}\right)}^{\times }{\mathit{\Phi }}_{AC}

(46)\cos {\alpha }_{BC}^{\mathrm{m}\mathrm{e}\mathrm{a}}-{\left({\mathit{z}}_B^{\mathrm{a}\mathrm{m}\mathrm{b}}\right)}^{\text{T}}{\mathit{z}}_C^{\mathrm{a}\mathrm{m}\mathrm{b}}={\left({\mathit{z}}_B^{\mathrm{a}\mathrm{m}\mathrm{b}}\right)}^{\text{T}}{\left({\mathit{z}}_C^{\mathrm{a}\mathrm{m}\mathrm{b}}\right)}^{\times }{\mathit{\Phi }}_{BC}

定义

(47)\{\begin{array}{rl}& \cos {\alpha }_{AB}^{\mathrm{a}\mathrm{m}\mathrm{b}}={\left({\mathit{z}}_A^{\mathrm{a}\mathrm{m}\mathrm{b}}\right)}^{\text{T}}{\mathit{z}}_B^{\mathrm{a}\mathrm{m}\mathrm{b}}\\ & \cos {\alpha }_{AC}^{\mathrm{a}\mathrm{m}\mathrm{b}}={\left({\mathit{z}}_A^{\mathrm{a}\mathrm{m}\mathrm{b}}\right)}^{\text{T}}{\mathit{z}}_C^{\mathrm{a}\mathrm{m}\mathrm{b}}\\ & \cos {\alpha }_{BC}^{\mathrm{a}\mathrm{m}\mathrm{b}}={\left({\mathit{z}}_B^{\mathrm{a}\mathrm{m}\mathrm{b}}\right)}^{\text{T}}{\mathit{z}}_C^{\mathrm{a}\mathrm{m}\mathrm{b}}\end{array}

矩阵形式为

(48)\begin{array}{rl}& \left[\begin{array}{c}\cos {\alpha }_{AB}^{\mathrm{m}\mathrm{e}\mathrm{a}}-\cos {\alpha }_{AB}^{\mathrm{a}\mathrm{m}\mathrm{b}}\\ \cos {\alpha }_{AC}^{\mathrm{m}\mathrm{e}\mathrm{a}}-\cos {\alpha }_{AC}^{\mathrm{a}\mathrm{m}\mathrm{b}}\\ \cos {\alpha }_{BC}^{\mathrm{m}\mathrm{e}\mathrm{a}}-\cos {\alpha }_{BC}^{\mathrm{a}\mathrm{m}\mathrm{b}}\end{array}\right]=\\ & \left[\begin{array}{ccc}{\left({\mathit{z}}_A^{\mathrm{a}\mathrm{m}\mathrm{b}}\right)}^{\text{T}}{\left({\mathit{z}}_B^{\mathrm{a}\mathrm{m}\mathrm{b}}\right)}^{\times }& \mathbf{0}& \mathbf{0}\\ \mathbf{0}& {\left({\mathit{z}}_A^{\mathrm{a}\mathrm{m}\mathrm{b}}\right)}^{\text{T}}{\left({\mathit{z}}_C^{\mathrm{a}\mathrm{m}\mathrm{b}}\right)}^{\times }& \mathbf{0}\\ \mathbf{0}& \mathbf{0}& {\left({\mathit{z}}_B^{\mathrm{a}\mathrm{m}\mathrm{b}}\right)}^{\text{T}}{\left({\mathit{z}}_C^{\mathrm{a}\mathrm{m}\mathrm{b}}\right)}^{\times }\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{\mathit{\Phi }}_{AB}\\ {\mathit{\Phi }}_{AC}\\ {\mathit{\Phi }}_{BC}\end{array}\right]\end{array}

令

(49)\{\begin{array}{rl}& \mathit{Z}=\left[\begin{array}{c}\cos {\alpha }_{AB}^{\mathrm{m}\mathrm{e}\mathrm{a}}-\cos {\alpha }_{AB}^{\mathrm{a}\mathrm{m}\mathrm{b}}\\ \cos {\alpha }_{AC}^{\mathrm{m}\mathrm{e}\mathrm{a}}-\cos {\alpha }_{AC}^{\mathrm{a}\mathrm{m}\mathrm{b}}\\ \cos {\alpha }_{BC}^{\mathrm{m}\mathrm{e}\mathrm{a}}-\cos {\alpha }_{BC}^{\mathrm{a}\mathrm{m}\mathrm{b}}\end{array}\right]\\ & \mathit{H}=\left[\begin{array}{ccc}{\left({\mathit{z}}_A^{\mathrm{a}\mathrm{m}\mathrm{b}}\right)}^{\text{T}}{\left({\mathit{z}}_B^{\mathrm{a}\mathrm{m}\mathrm{b}}\right)}^{\times }& \mathbf{0}& \mathbf{0}\\ \mathbf{0}& {\left({\mathit{z}}_A^{\mathrm{a}\mathrm{m}\mathrm{b}}\right)}^{\text{T}}{\left({\mathit{z}}_C^{\mathrm{a}\mathrm{m}\mathrm{b}}\right)}^{\times }& \mathbf{0}\\ \mathbf{0}& \mathbf{0}& {\left({\mathit{z}}_B^{\mathrm{a}\mathrm{m}\mathrm{b}}\right)}^{\text{T}}{\left({\mathit{z}}_C^{\mathrm{a}\mathrm{m}\mathrm{b}}\right)}^{\times }\end{array}\right]\\ & \mathit{X}=\left[\begin{array}{c}{\mathit{\Phi }}_{AB}\\ {\mathit{\Phi }}_{AC}\\ {\mathit{\Phi }}_{BC}\end{array}\right]\end{array}

则

(50)\mathit{Z}=\mathit{H}\mathit{X}

采用递推最小二乘方法，辨识结果如图6所示。

根据上述辨识结果{Φ_AB，Φ_AC，Φ_BC}，对星敏感器安装计算的夹角余弦进行修正，如图7中蓝线所示。相比校正前的光轴夹角余弦（图8），修正值与根据星敏感器实测光轴夹角余弦值（预估值和计算值）吻合，误差约为1 × 10^–6量级。

宽视场敏感器与星敏感器的基准统一

与上一节类似，设宽视场敏感器测量的中心天体矢量（如红外地球敏感器获得的地心矢量）为

(51){\mathit{e}}_b=[e_{bx},e_{by},e_{bz}{]}^{\mathrm{T}}

星敏感器及轨道计算的中心天体矢量为

(52){\mathit{z}}_b={\mathit{C}}_{bs}\cdot {\mathit{C}}_{si}\cdot {\mathit{C}}_{io}{\cdot [0,0,1]}^{\mathrm{T}}={\mathit{C}}_{bo}{\cdot [0,0,1]}^{\mathrm{T}}

其中：C_bs为星敏感器的安装阵；C_si = C_si(q_si)为星敏感器的姿态测量；C_io = {\mathit{C}}_{oi}^{\mathrm{T}}（i，Ω，u），则

(53){\mathit{e}}_b={\mathit{C}}_{es}\cdot {\mathit{z}}_b

设

(54){\mathit{C}}_{es}=\mathit{I}-{\mathit{\Phi }}_{es}^{\times }

其中：Φ_es =[φ_es, θ_es, ψ_es]^T为星敏感器与红外地球敏感器之间的误差角，则

(55){\mathit{e}}_b={\mathit{C}}_{es}{\mathit{z}}_b=\left(\mathit{I}-{\mathit{\Phi }}_{es}^{\times }\right){\mathit{z}}_b={\mathit{z}}_b-{\mathit{\Phi }}_{es}^{\times }{\mathit{z}}_b={\mathit{z}}_b+{\mathit{z}}_b^{\times }{\mathit{\Phi }}_{es}

即

(56){\mathit{e}}_b-{\mathit{z}}_b={\mathit{z}}_b^{\times }{\mathit{\Phi }}_{es}

同样，采用最小二乘方法进行辨识，参数辨识效果如图9和图10所示。

在轨测试

为验证本文所述测量模型的正确性及滤波算法的可行性，采用具有类似敏感器配置的地球轨道卫星开展在轨飞行测试。“天绘七号”卫星安装了三台带有基准测量系统、精度达到50 mas的高精度星敏感器，以及一台160° × 160°视场的红外地球敏感器（测量精度约0.03°），前者可模拟恒星角距的高精度测量以获得测速信息，后者可模拟宽视场敏感器对天体轮廓的测量以获得目标天体的测距和定心信息。2025年12月30日中午，“天绘七号”卫星在中国酒泉卫星发射中心发射入轨，卫星运行于高度约500 km的太阳同步轨道。飞行控制人员于2026年1月2日下午02:30（星时94 833 000 s）注入指令，启动本文所述的基于恒星角距与天体轮廓的自主导航功能，至次日上午9时（星时94 899 600 s）注入关闭指令，完成了大约20 h的导航算法测试。飞控期间获得的两段遥测数据如图11～12所示。遥测曲线表明，自主导航给出的卫星位置、速度与卫星GNSS测控结果一致，说明导航滤波已经收敛。

飞控结束后，进一步分析星上小型固态存储器中的高密度飞行数据（存储周期与星上控制系统同步，均为0.125 s），可获得自主导航与GNSS测控系统的位置和速度偏差。GNSS给出的卫星导航精度可达亚米级^[16-^17]，远高于自主导航水平，因此可以以GNSS测控系统为基准评估自主导航效果。图13～14表明，自主导航启动后约5 000 s，位置偏差收敛到5 km左右，速度偏差收敛到5 m/s左右。

根据星上小型固态存储器中星敏感器和地球敏感器原始测量数据进行剔野等地面处理，并采用第4节给出的算法进行标定及系统误差校正，重新进行导航滤波，效果如图15～16所示。地面滤波处理表明，经过系统误差校正后，定位误差可进一步收敛至4 km以内，速度误差收敛至4 m/s以内，基本符合第3节给出的误差预期，说明本文所提滤波及系统误差校正方法的正确、有效。

应该指出的是，目前获得的导航精度是在地球附近的轨道环境下进行飞行测试的情况，与真实的木星环境仍然存在较大差别。后续应进一步针对木星形状进行建模，如考虑木星较大的扁率对轮廓定心及测距的影响，以提高木星探测的适用性。

结　论

本文融合恒星角距与天体轮廓测量设计了自主导航滤波方法，同时针对系统误差设计了标校算法，并开展了在轨飞行测试。主要结论如下：

1） 针对木星轨道探测器的光行差导航所需星历中的速度精度给出了一种评估方法，获得了DE440/441木星星历速度精度足以支持基于恒星光行差导航需求的结论。

2） 设计了基于恒星角距与天体轮廓的自主导航算法并在近地轨道开展在轨飞行测试，测试表明，自主导航系统可实现5 km级定位精度水平。

3） 针对带有基准测量的高精度星敏感器，开展了星敏感器安装基准误差测量与补偿、星敏感器光轴夹角余弦校正、宽视场敏感器与星敏感器基准统一等标校算法设计，并基于在轨飞行数据验证了算法的正确性和有效性。

后续将在本文研究结果基础上继续开展工程化研究，确保基于恒星角距与天体轮廓的自主导航方法能够真正适用于木星飞行环境。

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