Elements of nonlinear continuum mechanics in the modern theory

Abstract

The theoretical advancement in the field of modern nonlinear continuum mechanics is discussed. The paper includes elements of the mathematical apparatus, development of the foundations of a General tensor theory of mechanical processes and their representations, including generalization of concepts of objective derivatives and integrals, concepts of tensor measures of stresses and deformations, new approaches in theory of the resistance of solids to deformation.

Keywords

mechanics of deformable bodies / mathematical foundations / objective tensors / finite deformation / objective derivatives / tensor measures of stress and strain / General principles of theory of constitutive relations of solids resistance to deformation

References

[1] Ильюшин А.А. Механика сплошной среды. М.: Изд-во Моск. ун-та, 1990.

[2] Седов Л.И. Механика сплошной среды. Т.1,2. М.: Наука, 1984.

[3] Жермен П. Механика сплошных сред. М.: Высшая школа, 1983.

[4] Победря Б.Е., Георгиевский Д.В. Основы механики сплошной среды. Курс лекций. М.: Физматлит, 2006.

[5] Эглит М.Э. Лекции по основам механики сплошных сред. М.: Изд-во Моск. ун-та, 2008.

[6] Noll W. A mathematical theory of the mechanical behavior of continuous media. Arch. Rat. Mech. Anal. 1958 2:197-226.

[7] Truesdell C., Noll W. The non-linear field theories of Mechanics. Handbuch der Physik. III/3. Berlin: Springer Verlag, 1965.

[8] Трусделл К. Первоначальный курс рациональной механики сплошных сред. М.: Мир, 1975.

[9] Gurtin M.E. An introduction to continuum mechanics. New York, London, Toronto, Sydney, San Francisco: Academic Press, 1981.

[10] Mueller I. Thermodynamics. Pitman, Boston, 1984.

[11] Rymarz Cz., Mechanika ośrodków ciagłyh. Warszawa: Wydawnictwo Naukowe PWN, 1993.

[12] Silhavy M. The mechanics and thermodynamics of continuous media. Berlin: Springer, 1997.

[13] Wilmanski K. Thermomechanics of continua. Berlin: Springer, 1998.

[14] Бровко Г.Л. Основы механики сплошной среды. М.: Изд-во "Попечительский совет механико-математического факультета МГУ имени М.В.Ломоносова". Ч.1. - 2011. Ч.2. - 2013.

[15] Проблемы Гильберта. Сборник под редакцией П.С. Александрова, М., Наука, 1969, 240с.

[16] Ляв А. Математическая теория упругости. М.: ОНТИ, 1935. 674 с.

[17] Новожилов В. В. Основы нелинейной теории упругости. - Л.-М., 1948. 211 с.

[18] Новожилов В. В. Теория упругости. - Л., 1958.

[19] Тимошенко С.П., Гудьер Дж. Теория упругости. М.: Наука, 1975. 575 с.

[20] Новацкий В. Теория упругости. М.: Мир, 1975. 872 с.

[21] Купрадзе В.Д., Гегелиа Т.Г., Башелейшвили М.О., Бурчуладзе Т.В. Трехмерные задачи математической теории упругости и термоупругости. М.: Наука, 1976. 663 с.

[22] Лурье А.И. Теория упругости. М.: Наука, 1970. 940 с.

[23] Ильюшин А.А. Пластичность. Ч.1. Упругопластические деформации. М.-Л.: ГИТТЛ, 1948. 376 с. (См. также: М.: Логос, 2004. 388 с. - репр. переизд.)

[24] Ильюшин А.А. Пластичность. Основы общей математической теории. М.: Изд-во АН СССР, 1963. 271 с.

[25] Ильюшин А.А., Ленский В.С. Сопротивление материалов. М.: Физматгиз, 1959. 371 с.

[26] Грин А., Адкинс Дж. Большие упругие деформации и нелинейная механика сплошной среды. М.: Мир, 1965. 456 с.

[27] Ильюшин А.А., Победря Б.Е. Основы математической теории термовязкоупругости. М.: Мысль, 1970. 280 с.

[28] Работнов Ю.Н. Механика деформируемого твердого тела. М.: Наука, 1979. 744 с.

[29] Победря Б.Е. Механика композиционных материалов. М.: Изд-во Моск. ун-та, 1984. 336 с.

[30] Лурье А.И. Нелинейная теория упругости. М.: Наука, 1980. 512 с.

[31] Поздеев А.А., Трусов П.В., Няшин Ю.И. Большие упругопластические деформации. М.: Наука, 1986. 232 с.

[32] Левитас В.И. Большие упругопластические деформации материалов при высоком давле- нии. Киев: Наукова думка. 1987. 231 с.

[33] Сьярле Ф. Математическая теория упругости. М.: Мир, 1992. 471 с.

[34] Черных К.Ф. Нелинейная упругость (теория и приложения). СПб: Соло, 2004. 420 с.

[35] Antman S.S. Nonlinear problems of elasticity. Springer, New York, 2005.

[36] Бровко Г.Л. Развитие математического аппарата и основ общей теории определяющих соотношений механики сплошной среды. Автореф. дисс. … д-ра физ.-мат. наук. М.: АО «Диалог МГУ», 1996. 32 с.

[37] Brovko G.L. Invariance Types of Tensors, Tensor Processes and Their Transforms in Classical Continuum Mechanics. In: Proc. of the Fifth Int. Seminar on Geometry, Continuum and Micro- structures. Sept. 26-28, 2001, Sinaia, Romania. Eds: S.Cleja-Tigoiu, V.Tigoiu. Editura Acade- miei Romane. Bucuresti, 2002. Pp. 13-24.

[38] Бровко Г.Л. Эффективные свойства инвариантности процессов и соотношений в механике сплошных сред. В кн.: Современные проблемы математики и механики. Т. II. Механика. Вып. 1. М.: Изд-во Моск. ун-та, 2009. С. 108-126.

[39] Brovko G.L. On general principles of the theory of constitutive relations in classical continuum mechanics. Journ. Eng. Mathematics. Kluwer Academic Publishers. Printed in Netherlands. (2013) 78:37-53. DOI 10.1007/s10665-011-9508-y

[40] Cotter B.A., Rivlin R.S. Tensors assotiated with time-dependent stress. Quart. Appl. Math. 1955. V. 13. No 2. Pp. 177-188.

[41] Oldroyd J.G. On the formulation of rheological equations of state. Proc. Roy. Soc. London. A. 1950. V. 200. Pp. 523-541.

[42] Седов Л.И. Понятие разных скоростей изменения тензоров. ПММ. 1960 Т. 24. Вып. 3. С. 393-398.

[43] Dienes J.K. On the analysis of rotation and stress rate in deforming bodies. Acta Mech. 1979. V. 32. No 4. Pp. 217-232.

[44] Бровко Г.Л. Свойства и интегрирование некоторых производных по времени от тензорных процессов в механике сплошной среды. Известия АН СССР. Механика твердого тела. 1990. № 1. С. 54-60.

[45] Seth B.R. Generalized strain measures with applications to physical problems. In: Second Order Effects in Elasticity, Plasticity and Fluid Dynamics (Edited by M.Reiner and D.Abir). Oxford: Pergamon Press, 1964. Pp. 162-172.

[46] Hill R. Aspects of invariance in solid mechanics. Advances in Appl. Mech. N.-Y. - L.: Acad. Press. 1978. V.18. Pp. 1-75.

[47] Маркин А.А., Толоконников Л.А. Меры и определяющие соотношения конечного упругопластического деформирования. Прикладные проблемы прочности и пластичности. Всесоюзный межвуз. сб. Горький: Изд-во Горьковского ун-та, 1987. С. 32-37.

[48] Бровко Г.Л. Некоторые подходы к построению определяющих соотношений пластичности при больших деформациях. В кн.: Упругость и неупругость. М.: Изд-во Моск. ун-та, 1987. С. 68 - 81.

[49] Маркин А.А. Вариант определяющих соотношений и постановка граничных задач при конечных упругопластических деформациях. Автореф. дисс.. д-ра физ.-мат. наук. М.: 1988. 38 с.

[50] Бровко Г.Л. Понятия образа процесса и пятимерной изотропии свойств материалов при конечных деформациях. Докл. АН СССР. 1989. Т. 308. № 3. С. 565-570.

[51] Lehmann Th., Liang H.Y. The stress conjugate to the logarithmic strain ln V. Z. Angew. Math. Mech. 1993. V. 73. Pp. 357-363.

[52] Бровко Г.Л. Об одном семействе голономных тензорных мер деформаций и напряжений. Вестн. Моск. ун-та. Матем., механ. 1992. № 4. с. 86-91.

[53] Бровко Г.Л., Ильюшин А.А. Модели и определяющие эксперименты в теории упругопластических процессов при конечных деформациях. В кн.: А.А.Ильюшин. Труды. Т. 4. Моделирование динамических процессов в твердых телах и инженерные приложения. М.: Физматлит, 2009. С. 148-159.

[54] Бровко Г.Л. Материальные и пространственные представления определяющих соотношений деформируемых сред // ПММ. 1990. Т. 54. Вып. 5. С. 814-824.

[55] Бровко Г.Л., Финошкина А.С. Отображения объективных тензорных процессов и модели пластического течения при конечных деформациях. В кн.: Упругость и неупругость. Материалы Международного научного симпозиума по проблемам механики деформируемых тел, посвященного девяностолетию со дня рождения А.А.Ильюшина. М.: Изд-во Моск. ун-та, 2001. С. 423-424.

[56] Финошкина А.С. Использование новых объективных производных в простейших моделях гипоупругости и пластического течения с кинематическим упрочнением // Известия Тул- ГУ. Серия Математика. Механика. Информатика. 2000. Т. 6. Вып. 2. С. 160-166.

[57] Финошкина А.С. Моделирование пластического течения с кинематическим упрочнением при конечных деформациях. В кн.: Всероссийская научная конференция «Современные проблемы математики, механики, информатики» (тезисы докладов). ТулГУ, Тула, 2002. С. 149.

[58] Finoshkina A.S. Usage of the new objective derivatives in models of plasticity at finite strain: the theory and numerical experiments. V International Congress on Mathematical Modeling: Book of Abstracts, Vol. 1, JINR, Dubna, 2002. С. 35.

[59] Шуткин А.С. Подходы к обобщению определяющих соотношений деформируемых твердых тел на область конечных деформаций. Механика композиционных материалов и конструкций. 2010. Т. 16. № 2. С. 166-180.

[60] Бровко Г.Л., Шуткин А.С. Модели материалов с памятью формы при конечных деформациях. Упругость и неупругость. Материалы международного научного симпозиума, посвященного 100-летию со дня рождения А.А. Ильюшина (Москва, 20-21 января 2011 г.). М.: Изд-во Моск. ун-та, 2011. С. 129-133.

RIGHTS & PERMISSIONS

Brovko G.L.