Please wait a minute...

Frontiers of Structural and Civil Engineering

Front. Struct. Civ. Eng.    2018, Vol. 12 Issue (1) : 125-136     https://doi.org/10.1007/s11709-017-0396-8
RESEARCH ARTICLE |
Fracture model for the prediction of the electrical percolation threshold in CNTs/Polymer composites
Yang SHEN1, Pengfei HE1, Xiaoying ZHUANG2,3,4()
1. School of Aerospace Engineering and Applied Mechanics, Tongji University, Shanghai, China
2. Department of Geotechnical Engineering, College of Civil Engineering, Tongji University, Shanghai, China
3. Institute of Continuum Mechanics, Leibniz-Universität Hannover, Germany
4. State Key Laboratory for Disaster Reduction in Civil Engineering, Tongji University, Shanghai, China
Download: PDF(1917 KB)   HTML
Export: BibTeX | EndNote | Reference Manager | ProCite | RefWorks
Abstract

In this paper, we propose a 3D stochastic model to predict the percolation threshold and the effective electric conductivity of CNTs/Polymer composites. We consider the tunneling effect in our model so that the unrealistic interpenetration can be avoided in the identification of the conductive paths between the CNTs inside the polymer. The results are shown to be in good agreement with reported experimental data.

Keywords electrical percolation      CNTs/Polymer composites      fracture model      electric conductivity      tunnelling effects     
Corresponding Authors: Xiaoying ZHUANG   
Online First Date: 05 July 2017    Issue Date: 08 March 2018
 Cite this article:   
Yang SHEN,Pengfei HE,Xiaoying ZHUANG. Fracture model for the prediction of the electrical percolation threshold in CNTs/Polymer composites[J]. Front. Struct. Civ. Eng., 2018, 12(1): 125-136.
 URL:  
http://journal.hep.com.cn/fsce/EN/10.1007/s11709-017-0396-8
http://journal.hep.com.cn/fsce/EN/Y2018/V12/I1/125
Service
E-mail this article
E-mail Alert
RSS
Articles by authors
Yang SHEN
Pengfei HE
Xiaoying ZHUANG
Fig.1  Red Region stands for Carbon Nanotube, while Blue Region stands for Tunneling effect region
Fig.2  Hard-core CNTs without any intersection and Tunneling effect region that can overlap
Fig.3  Isometric view and three side views of 6000 randomly distributed and oriented CNTs
Fig.4  Isometric view and three side views of 400 randomly distributed and oriented CNTs
Fig.5  Illustration of a conductive path formed by CNTs in X direction (CNTs located on the path are in red color)
Fig.6  The size requirement for a RVE
directionXYZ
electric Conductivity (S/m)3.6257E–81.0897E–132.3947E–14
Tab.1  The volume average electric conductivity
Fig.7  The difference of the cross section between CNT(left) and our solid cylinder(right)
Fig.8  The finite element discretization of a RVE
Fig.9  Electric potential distributation:(a) X Direction(b) Y Direction(c) Z Direction
Fig.10  Percolation possibility curve for different tunneling effect zone width
Fig.11  Percolation possibility curve for different deviation of the length of CNTs
Fig.12  Percolation possibility curve for different average length of CNTs
1 Sandler J, Shaffer M S P, Prasse T, Bauhofer W, Schulte K, Windle A H. Development of a dispersion process for carbon nanotubes in an epoxy matrix and the resulting electrical properties. Polymer, 1999, 40(21): 5967–5971
https://doi.org/10.1016/S0032-3861(99)00166-4
2 Michael G H, Tejas N. Radiofrequency interaction with conductive colloids: permittivity and electrical conductivity of single-wall carbon nanotubes in sallne. Bioelectromagnetics, 2010, 31(8): 582–588
3 Martin C A, Sandler J K W, Shaffer M S P, Schwarz M K, Bauhofer W, Schulte K, Windle A H. Formation of percolating networks in multi-wall carbon-nanotube–epoxy composites. Composites Science and Technology, 2004, 64(15): 2309–2316
https://doi.org/10.1016/j.compscitech.2004.01.025
4 Bauhofer W, Kovacs J Z. A review and analysis of electrical percolation in carbon nanotube polymer composites. Composites Science and Technology, 2009, 69(10): 1486–1498
https://doi.org/10.1016/j.compscitech.2008.06.018
5 Bryning M B, Islam M F, Kikkawa J M, Yodh A G. Very low conductivity threshold in bulk isotropic single-walled carbon nanotube–epoxy composites. Advanced Materials, 2005, 17(9): 1186–1191
https://doi.org/10.1002/adma.200401649
6 Ounaies Z, Park C, Wise K E, Siochi E J, Harrison J S. Electrical properties of single wall carbon nanotube reinforced polyimide composites. Composites Science and Technology, 2003, 63(11): 1637–1646
https://doi.org/10.1016/S0266-3538(03)00067-8
7 Kymakis E, Amaratunga G A J. Electrical properties of single-wall carbon nanotube-polymer composite films. Journal of Applied Physics, 2006, 99(8): 56
https://doi.org/10.1063/1.2189931
8 Ramasubramaniam R, Chen J, Liu H. Homogeneous carbon nanotube/polymer composites for electrical applications. Applied Physics Letters, 2003, 83(14): 2928–2930
https://doi.org/10.1063/1.1616976
9 Griebel M, Hamaekers J. Molecular dynamics simulations of the elastic moduli of polymer–carbon nanotube composites. Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering, 2004, 193(17): 1773–1788
10 Frankland S J V, Caglar A, Brenner D W, Griebel M. Molecular simulation of the influence of chemical cross-links on the shear strength of carbon nanotube-polymer interfaces. Journal of Physical Chemistry B, 2002, 106(12): 3046–3048
https://doi.org/10.1021/jp015591+
11 Zhu R, Pan E, Roy A K. Molecular dynamics study of the stress–strain behavior of carbon-nanotube reinforced epon 862 composites. Materials  Science  and  Engineering  A,  2007,  447(1):  51–57
https://doi.org/10.1016/j.msea.2006.10.054
12 Arash B, Park H S, Rabczuk T. Mechanical properties of carbon nanotube reinforced polymer nanocomposites: A coarse-grained model. Composites. Part B, Engineering, 2015, 80: 92–100
https://doi.org/10.1016/j.compositesb.2015.05.038
13 Quayum M S, Zhuang X, Rabczuk T. Computational model generation and rve design of self-healing concrete. Journal of Contemporary Physics, 2015, 50(4): 383–396
14 Mortazavi B, Baniassadi M, Bardon J, Ahzi S. Modeling of two-phase random composite materials by finite element, mori–tanaka and strong contrast methods. Composites. Part B, Engineering, 2013, 45(1): 1117–1125
https://doi.org/10.1016/j.compositesb.2012.05.015
15 Mortazavi B, Bardon J, Ahzi S. Interphase effect on the elastic and thermal conductivity response of polymer nanocomposite materials: 3d finite element study. Computational Materials Science, 2013, 69: 100–106
https://doi.org/10.1016/j.commatsci.2012.11.035
17 Hamdia K M, Msekh M A, Silani M, Vu-Bac N, Zhuang X, Nguyen-Thoi T, Rabczuk T. Uncertainty quantification of the fracture properties of polymeric nanocomposites based on phase field modeling. Composite Structures, 2015, 133: 1177–1190
https://doi.org/10.1016/j.compstruct.2015.08.051
18 Silani M, Talebi H, Ziaei-Rad S, Kerfriden P, Bordas S P A, Rabczuk T. Stochastic modelling of clay/epoxy nanocomposites. Composite Structures, 2014, 118: 241–249
https://doi.org/10.1016/j.compstruct.2014.07.009
19 Vu-Bac N, Lahmer T, Zhang Y, Zhuang X, Rabczuk T. Stochastic predictions of interfacial characteristic of polymeric nanocomposites (pncs). Composites. Part B, Engineering, 2014, 59: 80–95
https://doi.org/10.1016/j.compositesb.2013.11.014
20 Ghasemi H, Brighenti R, Zhuang X, Muthu J, Rabczuk T. Optimization of fiber distribution in fiber reinforced composite by using nurbs functions. Computational Materials Science, 2014, 83: 463–473
https://doi.org/10.1016/j.commatsci.2013.11.032
22 Vu-Bac N, Rafiee R, Zhuang X, Lahmer T, Rabczuk T. Uncertainty quantification for multiscale modeling of polymer nanocomposites with correlated parameters. Composites. Part B, Engineering, 2015, 68: 446–464
https://doi.org/10.1016/j.compositesb.2014.09.008
23 Ghasemi H, Brighenti R, Zhuang X, Muthu J, Rabczuk T. Optimal fiber content and distribution in fiber-reinforced solids using a reliability and nurbs based sequential optimization approach. Structural and Multidisciplinary Optimization, 2015, 51(1): 99–112
https://doi.org/10.1007/s00158-014-1114-y
25 Vu-Bac N, Lahmer T, Zhuang X, Nguyen-Thoi T, Rabczuk T. A software framework for probabilistic sensitivity analysis for computationally expensive models. Advances in Engineering Software, 2016, 100: 19–31
https://doi.org/10.1016/j.advengsoft.2016.06.005
26 Vu-Bac N, Silani M, Lahmer T, Zhuang X, Rabczuk T. A unified framework for stochastic predictions of mechanical properties of polymeric nanocomposites. Computational Materials Science, 2015, 96(PB):520–535
27 Msekh M A, Silani M, Jamshidian M, Areias P, Zhuang X, Zi G, He P, Rabczuk T. Predictions of j integral and tensile strength of clay/epoxy nanocomposites material using phase field model. Composites. Part B, Engineering, 2016, 93: 97–114
https://doi.org/10.1016/j.compositesb.2016.02.022
28 Hamdia K M, Zhuang X, He P, Rabczuk T. Fracture toughness of polymeric particle nanocomposites: Evaluation of models performance using bayesian method. Composites Science and Technology, 2016, 126: 122–129
https://doi.org/10.1016/j.compscitech.2016.02.012
30 Ben Dhia H. Multiscale mechanical problems: the arlequin method. Comptes Rendus de l’Academie des Sciences Series IIB Mechanics Physics Astronomy, 1998, 326(12): 899–904
31 Dhia H B, Rateau G. The arlequin method as a flexible engineering design tool. International Journal for Numerical Methods in Engineering, 2005, 62(11): 1442–1462
https://doi.org/10.1002/nme.1229
32 Xiao S P, Belytschko T. A bridging domain method for coupling continua with molecular dynamics. Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering, 2004, 193(17): 1645–1669
https://doi.org/10.1016/j.cma.2003.12.053
33 Wagner G J, Liu W K. Coupling of atomistic and continuum simulations using a bridging scale decomposition. Journal of Computational Physics, 2003, 190(1): 249–274
https://doi.org/10.1016/S0021-9991(03)00273-0
34 Tadmor E B, Ortiz M, Phillips R. Quasicontinuum analysis of defects in solids. Philosophical Magazine A, 1996, 73(6): 1529–1563
https://doi.org/10.1080/01418619608243000
35 Shenoy V B, Miller R, Tadmor E B, Rodney D, Phillips R, Ortiz M. An adaptive finite element approach to atomic-scale mechanicsthe quasicontinuum method. Journal of the Mechanics and Physics of Solids, 1999, 47(3): 611–642
https://doi.org/10.1016/S0022-5096(98)00051-9
36 Talebi H, Silani M, Bordas S P A, Kerfriden P, Rabczuk T. A computational library for multiscale modeling of material failure. Computational Mechanics, 2014, 53(5): 1047–1071
https://doi.org/10.1007/s00466-013-0948-2
37 Silani M, Talebi H, Hamouda A M, Rabczuk T. Nonlocal damage modelling in clay/epoxy nanocomposites using a multiscale approach. Journal of Computational Science, 2016, 15:18-23
38 Budarapu P R, Gracie R, Yang S W, Zhuang X, Rabczuk T. Efficient coarse graining in multiscale modeling of fracture. Theoretical and Applied Fracture Mechanics, 2014, 69: 126–143
https://doi.org/10.1016/j.tafmec.2013.12.004
39 Silani M, Ziaei-Rad S, Talebi H, Rabczuk T. A semi-concurrent multiscale approach for modeling damage in nanocomposites. Theoretical and Applied Fracture Mechanics, 2014, 74(1): 30–38
https://doi.org/10.1016/j.tafmec.2014.06.009
40 Talebi H, Silani M, Rabczuk T. Concurrent multiscale modeling of three dimensional crack and dislocation propagation. Advances in Engineering Software, 2015, 80: 82–92
https://doi.org/10.1016/j.advengsoft.2014.09.016
43 Budarapu P R, Gracie R, Bordas S P A, Rabczuk T. An adaptive multiscale method for quasi-static crack growth. Computational Mechanics, 2014, 53(6): 1129–1148
https://doi.org/10.1007/s00466-013-0952-6
44 Talebi H, Silani M, Bordas S P A, Kerfriden P, Rabczuk T. Molecular dynamics/XFEM coupling by a three-dimensional extended bridging domain with applications to dynamic brittle fracture. International Journal for Multiscale Computational Engineering, 2013, 11(6): 527–541
https://doi.org/10.1615/IntJMultCompEng.2013005838
45 Belytschko T, Moës N, Usui S, Parimi C. Arbitrary discontinuities in finite elements. International Journal for Numerical Methods in Engineering, 2001, 50(4): 993–1013
https://doi.org/10.1002/1097-0207(20010210)50:4<993::AID-NME164>3.0.CO;2-M
46 Sukumar N, Moës N. B Moran, and T Belytschko. Extended finite element method for three-dimensional crack modelling. International Journal for Numerical Methods in Engineering, 2000, 48(11): 1549–1570
https://doi.org/10.1002/1097-0207(20000820)48:11<1549::AID-NME955>3.0.CO;2-A
48 Ghasemi H, Park H S, Rabczuk T. A level-set based iga formulation for topology optimization of flexoelectric materials. Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering, 2017, 313: 239–258
https://doi.org/10.1016/j.cma.2016.09.029
49 Nanthakumar S S, Valizadeh N, Park H S, Rabczuk T. Surface effects on shape and topology optimization of nanostructures. Computational Mechanics, 2015, 56(1): 97–112
https://doi.org/10.1007/s00466-015-1159-9
53 Chau-Dinh T, Zi G, Lee P S, Rabczuk T, Song J H. Phantom-node method for shell models with arbitrary cracks. Computers & Structures, 2012, 92-93: 242–246
https://doi.org/10.1016/j.compstruc.2011.10.021
55 Kumar S, Singh I V, Mishra B K, Rabczuk T. Modeling and simulation of kinked cracks by virtual node xfem. Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering, 2015, 283: 1425–1466
https://doi.org/10.1016/j.cma.2014.10.019
56 Chen L, Rabczuk T, Bordas S P A, Liu G R, Zeng K Y, Kerfriden P. Extended finite element method with edge-based strain smoothing (ESM-XFEM) for linear elastic crack growth. Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering, 2012, 209-212: 250–265
https://doi.org/10.1016/j.cma.2011.08.013
58 Bordas S P A, Natarajan S, Kerfriden P, Augarde C E, Mahapatra D R, Rabczuk T, Pont S D. On the performance of strain smoothing for quadratic and enriched finite element approximations (xfem/gfem/pufem). International Journal for Numerical Methods in Engineering, 2011, 86(4-5): 637–666
https://doi.org/10.1002/nme.3156
61 Areias P, Msekh M A, Rabczuk T. Damage and fracture algorithm using the screened poisson equation and local remeshing. Engineering Fracture Mechanics, 2016, 158: 116–143
https://doi.org/10.1016/j.engfracmech.2015.10.042
62 Rabizadeh E, Saboor Bagherzadeh A, Rabczuk T. Goal-oriented error estimation and adaptive mesh refinement in dynamic coupled thermoelasticity. Computers & Structures, 2016, 173: 187–211
https://doi.org/10.1016/j.compstruc.2016.05.024
63 Areias P, Rabczuk T, Msekh M A. Phase-field analysis of finite-strain plates and shells including element subdivision. Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering, 2016, 312: 322–350
https://doi.org/10.1016/j.cma.2016.01.020
64 Areias P, Rabczuk T, de Sá J C. A novel two-stage discrete crack method based on the screened Poisson equation and local mesh refinement. Computational Mechanics, 2016, 58(6): 1003–1018
https://doi.org/10.1007/s00466-016-1328-5
65 Areias P, Reinoso J, Camanho P, Rabczuk T. A constitutive-based element-by-element crack propagation algorithm with local mesh refinement. Computational Mechanics, 2015, 56(2): 291–315
https://doi.org/10.1007/s00466-015-1172-z
66 Areias P, Rabczuk T, Camanho P P. Finite strain fracture of 2d problems with injected anisotropic softening elements. Theoretical and Applied Fracture Mechanics, 2014, 72(1): 50–63
https://doi.org/10.1016/j.tafmec.2014.06.006
67 Areias P, Dias-Da-Costa D, Sargado J M, Rabczuk T. Element-wise algorithm for modeling ductile fracture with the rousselier yield function. Computational Mechanics, 2013, 52(6): 1429–1443
https://doi.org/10.1007/s00466-013-0885-0
68 Areias P, Rabczuk T, Dias-da Costa D. Element-wise fracture algorithm based on rotation of edges. Engineering Fracture Mechanics, 2013, 110: 113–137
https://doi.org/10.1016/j.engfracmech.2013.06.006
69 Areias P, Rabczuk T. Finite strain fracture of plates and shells with configurational forces and edge rotations. International Journal for Numerical Methods in Engineering, 2013, 94(12): 1099–1122
https://doi.org/10.1002/nme.4477
70 Nguyen-Xuan H, Liu G R, Bordas S, Natarajan S, Rabczuk T. An adaptive singular es-fem for mechanics problems with singular field of arbitrary order. Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering, 2013, 253: 252–273
https://doi.org/10.1016/j.cma.2012.07.017
71 Rabczuk T, Belytschko T, Xiao S P. Stable particle methods based on lagrangian kernels. Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering, 2004, 193(12-14): 1035–1063
https://doi.org/10.1016/j.cma.2003.12.005
73 Rabczuk T, Areias P. A meshfree thin shell for arbitrary evolving cracks based on an extrinsic basis. Computer Modeling in Engineering & Sciences, 2006, 16(2): 115–130
74 Zi G, Rabczuk T, Wall W. Extended meshfree methods without branch enrichment for cohesive cracks. Computational Mechanics, 2007, 40(2): 367–382
https://doi.org/10.1007/s00466-006-0115-0
75 Rabczuk T, Zi G. A meshfree method based on the local partition of unity for cohesive cracks. Computational Mechanics, 2007, 39(6): 743–760
https://doi.org/10.1007/s00466-006-0067-4
76 Rabczuk T, Areias P M A, Belytschko T. A meshfree thin shell method for non-linear dynamic fracture. International Journal for Numerical Methods in Engineering, 2007, 72(5): 524–548
https://doi.org/10.1002/nme.2013
78 Amiri F, Millán D, Arroyo M, Silani M, Rabczuk T. Fourth order phase-field model for local max-ENT approximants applied to crack propagation. Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering, 2016, 312: 254–275
https://doi.org/10.1016/j.cma.2016.02.011
79 Amiri F, Millán D, Shen Y, Rabczuk T, Arroyo M. Phase-field modeling of fracture in linear thin shells. Theoretical and Applied Fracture Mechanics, 2014, 69: 102–109
https://doi.org/10.1016/j.tafmec.2013.12.002
80 Amiri F, Anitescu C, Arroyo M, Bordas S P A, Rabczuk T. Xlme interpolants, a seamless bridge between xfem and enriched meshless methods. Computational Mechanics, 2014, 53(1): 45–57
https://doi.org/10.1007/s00466-013-0891-2
82 Talebi H, Samaniego C, Samaniego E, Rabczuk T. On the numerical stability and mass-lumping schemes for explicit enriched meshfree methods. International Journal for Numerical Methods in Engineering, 2012, 89(8): 1009–1027
https://doi.org/10.1002/nme.3275
83 Rabczuk T, Gracie R, Song J H, Belytschko T. Immersed particle method for fluid-structure interaction. International Journal for Numerical Methods in Engineering, 2010, 81(1): 48–71
84 Nguyen V P, Rabczuk T, Bordas S, Duflot M. Meshless methods: A review and computer implementation aspects. Mathematics and Computers in Simulation, 2008, 79(3): 763–813
https://doi.org/10.1016/j.matcom.2008.01.003
86 Rabczuk T, Zi G, Bordas S, Nguyen-Xuan H. A geometrically nonlinear three-dimensional cohesive crack method for reinforced concrete structures. Engineering Fracture Mechanics, 2008, 75(16): 4740–4758
https://doi.org/10.1016/j.engfracmech.2008.06.019
87 Ren H, Zhuang X, Cai Y, Rabczuk T. Dual-horizon peridynamics. International Journal for Numerical Methods in Engineering, 2016, 108(12): 1451–1476
https://doi.org/10.1002/nme.5257
88 Rabczuk T, Belytschko T. Cracking particles: A simplified meshfree method for arbitrary evolving cracks. International Journal for Numerical Methods in Engineering, 2004, 61(13): 2316–2343
https://doi.org/10.1002/nme.1151
89 Rabczuk T, Zi G, Bordas S, Nguyen-Xuan H. A simple and robust three-dimensional cracking-particle method without enrichment. Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering, 2010, 199(37-40): 2437–2455
https://doi.org/10.1016/j.cma.2010.03.031
91 Rabczuk T, Belytschko T. A three-dimensional large deformation meshfree method for arbitrary evolving cracks. Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering, 2007, 196(29-30): 2777–2799
https://doi.org/10.1016/j.cma.2006.06.020
93 Nguyen-Thanh N, Valizadeh N, Nguyen M N, Nguyen-Xuan H, Zhuang X, Areias P, Zi G, Bazilevs Y, De Lorenzis L, Rabczuk T. An extended isogeometric thin shell analysis based on kirchhoff-love theory. Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering, 2015, 284: 265–291
https://doi.org/10.1016/j.cma.2014.08.025
94 Ghorashi S S, Valizadeh N, Mohammadi S, Rabczuk T. T-spline based xiga for fracture analysis of orthotropic media. Computers & Structures, 2015, 147: 138–146
https://doi.org/10.1016/j.compstruc.2014.09.017
96 Thai T Q, Rabczuk T, Bazilevs Y, Meschke G. A higher-order stress-based gradient-enhanced damage model based on isogeometric analysis. Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering, 2016, 304: 584–604
https://doi.org/10.1016/j.cma.2016.02.031
97 Chan C L, Anitescu C, Rabczuk T. Volumetric parametrization from a level set boundary representation with pht-splines. CAD Computer Aided Design, 2017, 82: 29–41
https://doi.org/10.1016/j.cad.2016.08.008
100 Nguyen V P, Anitescu C, Bordas S P A, Rabczuk T. Isogeometric analysis: An overview and computer implementation aspects. Mathematics and Computers in Simulation, 2015, 117: 89–116
https://doi.org/10.1016/j.matcom.2015.05.008
103 Thai C H, Ferreira A J M, Bordas S P A, Rabczuk T, Nguyen-Xuan H. Isogeometric analysis of laminated composite and sandwich plates using a new inverse trigonometric shear deformation theory. European Journal of Mechanics. A, Solids, 2014, 43: 89–108
https://doi.org/10.1016/j.euromechsol.2013.09.001
106 Thai C H, Nguyen-Xuan H, Nguyen-Thanh N, Le T H, Nguyen-Thoi T, Rabczuk T. Static, free vibration, and buckling analysis of laminated composite reissner-mindlin plates using nurbs-based isogeometric approach. International Journal for Numerical Methods in Engineering, 2012, 91(6): 571–603
https://doi.org/10.1002/nme.4282
107 Nguyen-Thanh N, Kiendl J, Nguyen-Xuan H, Wchner R, Bletzinger K U, Bazilevs Y, Rabczuk T. Rotation free isogeometric thin shell analysis using pht-splines. Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering, 2011, 200(47-48): 3410–3424
https://doi.org/10.1016/j.cma.2011.08.014
108 Nguyen-Thanh N, Nguyen-Xuan H, Bordas S P A, Rabczuk T. Isogeometric analysis using polynomial splines over hierarchical t-meshes for two-dimensional elastic solids. Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering, 2011, 200(21-22): 1892–1908
https://doi.org/10.1016/j.cma.2011.01.018
111 Zhuang X, Huang R, Liang C, Rabczuk T. A coupled thermohydro-mechanical model of jointed hard rock for compressed air energy storage. Mathematical Problems in Engineering, 2014, 2014
113 Areias P, Rabczuk T, Camanho P P. Initially rigid cohesive laws and fracture based on edge rotations. Computational Mechanics, 2013, 52(4): 931–947
https://doi.org/10.1007/s00466-013-0855-6
116 Frédéric Feyel, Jean-Louis Chaboche. Fe 2 multiscale approach for modelling the elastoviscoplastic behaviour of long fibre sic/ti composite materials. Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering, 2000, 183(3): 309–330
117 Zeng X, Xu X, Prathamesh M. Shenai, Eugene Kovalev, Charles Baudot, Nripan Mathews, and Yang Zhao. Characteristics of the electrical percolation in carbon nanotubes/polymer nanocomposites. Journal of Physical Chemistry C, 2011, 115(44): 21685–21690
https://doi.org/10.1021/jp207388n
118 Belytschko T, Yun Y L, Gu L. Element-free galerkin methods. International Journal for Numerical Methods in Engineering, 1994, 37(2): 229–256
https://doi.org/10.1002/nme.1620370205
119 Belytschko T, Lu Y Y, Gu L, Tabbara M. Element-free galerkin methods for static and dynamic fracture. International Journal of Solids and Structures, 1995, 32(17): 2547–2570
https://doi.org/10.1016/0020-7683(94)00282-2
120 Zhuang X, Augarde C E, Mathisen K M. Fracture modeling using meshless methods and level sets in 3d: framework and modeling. International Journal for Numerical Methods in Engineering, 2012, 92(11): 969–998
https://doi.org/10.1002/nme.4365
121 Zhuang X, Zhu H, Augarde C. An improved mesh-less shepard and least squares method possessing the delta property and requiring no singular weight function. Computational Mechanics, 2014, 53(2): 343–357
https://doi.org/10.1007/s00466-013-0912-1
122 Rabczuk T, Bordas S, Zi G. A three-dimensional meshfree method for continuous multiple-crack initiation, propagation and junction in statics and dynamics. Computational Mechanics, 2007, 40(3): 473–495
https://doi.org/10.1007/s00466-006-0122-1
123 Bordas S, Rabczuk T, Zi G. Three-dimensional crack initiation, propagation, branching and junction in non-linear materials by an extended meshfree method without asymptotic enrichment. Engineering Fracture Mechanics, 2008, 75(5): 943–960
https://doi.org/10.1016/j.engfracmech.2007.05.010
124 Rabczuk T, Bordas S, Zi G. On three-dimensional modelling of crack growth using partition of unity methods. Computers & Structures, 2010, 88(23): 1391–1411
https://doi.org/10.1016/j.compstruc.2008.08.010
125 Song J H, Areias P, Belytschko T. A method for dynamic crack and shear band propagation with phantom nodes. International Journal for Numerical Methods in Engineering, 2006, 67(6): 868–893
https://doi.org/10.1002/nme.1652
126 Enderlein M, Ricoeur A, Kuna M. Finite element techniques for dynamic crack analysis in piezoelectrics. International Journal of Fracture, 2005, 134(3-4): 191–208
https://doi.org/10.1007/s10704-005-0522-9
127 Kuna M. Finite element analyses of crack problems in piezoelectric structures. Computational Materials Science, 1998, 13(1): 67–80
https://doi.org/10.1016/S0927-0256(98)00047-0
128 Shang F, Kuna M, Abendroth M. Meinhard Kuna, and Martin Abendroth. Finite element analyses of three-dimensional crack problems in piezoelectric structures. Engineering Fracture Mechanics, 2003, 70(2): 143–160
https://doi.org/10.1016/S0013-7944(02)00039-5
129 Béchet E, Scherzer M, Kuna M. Application of the x-fem to the fracture of piezoelectric materials. International Journal for Numerical Methods in Engineering, 2009, 77(11): 1535–1565
https://doi.org/10.1002/nme.2455
130 Nanthakumar S S, Lahmer T, Zhuang X, Zi G, Rabczuk T. Detection of material interfaces using a regularized level set method in piezoelectric structures. Inverse Problems in Science and Engineering, 2016, 1: 153–176
133 Gupta S S, Bosco F G, Batra R C. Wall thickness and elastic moduli of single-walled carbon nanotubes from frequencies of axial, torsional and inextensional modes of vibration. Computational Materials Science, 2010, 47(4): 1049–1059
https://doi.org/10.1016/j.commatsci.2009.12.007
Related articles from Frontiers Journals
[1] ZHANG Xiufang, XU Shilang, ZHENG Shuang. Experimental measurement of double-K fracture parameters of concrete with small-size aggregates[J]. Front. Struct. Civ. Eng., 2007, 1(4): 448-457.
Viewed
Full text


Abstract

Cited

  Shared   
  Discussed